那啥的lis

Description

求长度为n的排列的lis的期望

Solution 1

n<=15
考虑用二分求lis的时候，我们会维护一个Dp数组，其中Dp[i]表示长度为i的lis的结尾最小值
显然Dp是单调上升的，所以我们直接压哪些数在Dp数组中出现过就可以做到转移了
当然为了转移我们还需要知道哪些数已经被选但是没有出现在Dp数组中
$O(n^2{3}^n)$

Solution 2

n<=20
其实我们并不用维护真实值，我们只需要维护相对大小
就是当前i个数就是1~i的排列，枚举当前的数为k，那么将前面>=k的数全部+1
$O(n^2{2}^n)$

Solution 3

n<=50
转自知乎
定义杨图来表示一个n的划分
可以发现两个杨图对应一个序列，且第一行的大小就是lis
证明太麻烦了自己看吧
设p(n)表示n的分拆数
复杂度O(p(n))

Solution 4

n<=1000
听说用杨图可以做？
不会待填

Code

#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=105,Mo=998244353;

int n,ans,a[N],inv[N];

void dfs(int x,int y) {
	if (!y) {
		int res=1;
		fo(i,1,x-1) 
			fo(j,1,a[i]) {
				int cnt=a[i]-j+1;
				fo(k,i+1,x-1) if (a[k]>=j) cnt++;
				res=(ll)res*inv[cnt]%Mo*inv[cnt]%Mo;
			}
		(ans+=(ll)res*a[1]%Mo)%=Mo;
		return;
	}
	fo(i,1,min(a[x-1],y)) {
		a[x]=i;
		dfs(x+1,y-i);
	}
}

int main() {
	scanf("%d",&n);
	inv[1]=1;fo(i,2,n) inv[i]=(ll)(Mo-Mo/i)*inv[Mo%i]%Mo;
	a[0]=n;dfs(1,n);
	fo(i,1,n) ans=(ll)ans*i%Mo;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}