【线性代数】特殊矩阵
- 单位矩阵
- 对角矩阵(diagonal matrix)
- 上(下)三角矩阵
- 对称矩阵 (symmetric matrix)
- 正交矩阵(orthogonal matrix)
- Ref
单位矩阵
对角线上元素为 1 ， 其余元素全部为0 的方阵。类似
⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]
对角矩阵(diagonal matrix)
仅在主对角线上元素非0， 其余元素全部为 0 的矩阵。类似
[a00b00] [ a 0 0 0 b 0 ]
. 上面提到的单位阵就是最漂亮的一个对角矩阵。
对角矩阵不一定是方阵，也可能是长方形的，对于这样一个矩阵 D D 而言，乘法 Dx D x 会涉及到 x x 中每一个元素的放缩。
- 如果 D D 是瘦长型的，那么放缩后末尾添加一些零
- 如果 D D 是宽胖型的，那么放缩后会去掉一些元素
上(下)三角矩阵
上三角矩阵
⎡⎣⎢a00db0fec⎤⎦⎥ [ a d f 0 b e 0 0 c ]
下三角矩阵
⎡⎣⎢adf0be00c⎤⎦⎥ [ a 0 0 d b 0 f e c ]
值得单开一篇
对称矩阵 (symmetric matrix)
即矩阵的转置与原矩阵相等的矩阵， AT=A A T = A , 显然 A A 必然是一个方阵, 且满足 Aij=Aji A i j = A j i .
比如 距离矩阵。 Aij A i j 表示点 i i 到点 j j 的距离。
正交矩阵(orthogonal matrix)
如果两个向量互相正交，并且范数都为1，那么我们称他们是 标准正交(orthogonal).
即 若 xTy=0,and∥x∥=1,∥y∥=1 x T y = 0 , a n d ‖ x ‖ = 1 , ‖ y ‖ = 1 , 那么我们称 向量 x,y x , y 标准正交。
对于一个方阵，如果它的行向量是标准正交的，列向量也是标准正交的，那么我们就称这个矩阵为 正交矩阵。
即，
ATA=AAT=I A T A = A A T = I
, 也就是说
A−1=AT A − 1 = A T
这也是正交矩阵最优良的特性，逆特别好求，就是转置。最常见的正交矩阵就是 相机矩阵中的旋转矩阵 R R 。