元胞自动机(生命游戏)

元胞自动机

元胞自动机(Cellular Automaton，复数为Cellular Automata，简称CA，也有人译为细胞自动机、点格自动机、分子自动机或单元自动机)。是一时间和空间都离散的动力系统。散布在规则格网 (Lattice Grid)中的每一元胞(Cell)取有限的离散状态，遵循同样的作用规则，依据确定的局部规则作同步更新。大量元胞通过简单的相互作用而构成动态系统的演化。

不同于一般的动力学模型，元胞自动机不是由严格定义的物理方程或函数确定，而是用一系列模型构造的规则构成。凡是满足这些规则的模型都可以算作是元胞自动机模型。因此，元胞自动机是一类模型的总称，或者说是一个方法框架。其特点是时间、空间、状态都离散，每个变量只取有限多个状态，且其状态改变的规则在时间和空间上都是局部的。

元胞自动机的构建没有固定的数学公式，构成方式繁杂，变种很多，行为复杂。故其分类难度也较大，自元胞自动机产生以来，对于元胞自动机分类的研究就是元胞自动机的一个重要的研究课题和核心理论，在基于不同的出发点，元胞自动机可有多种分类，其中，最具影响力的当属S. Wolfram在80年代初做的基于动力学行为的元胞自动机分类，而基于维数的元胞自动机分类也是最简单和最常用的划分。除此之外，在1990年，Howard A.Gutowitz提出了基于元胞自动机行为的马尔科夫概率量测的层次化、参量化的分类体系（Gutowitz,H. A.,1990）。下面就上述的前两种分类作进一步的介绍。同时就几种特殊类型的元胞自动机进行介绍和探讨S. Wolfrarm在详细分析研究了一维元胞自动机的演化行为，并在大量的计算机实验的基础上，将所有元胞自动机的动力学行为归纳为四大类（Wolfram. S.，1986):

⑴平稳型:自任何初始状态开始，经过一定时间运行后，元胞空间趋于一个空间平稳的构形，这里空间平稳即指每一个元胞处于固定状态。不随时间变化而变化。

⑵周期型：经过一定时间运行后，元胞空间趋于一系列简单的固定结构（Stable Patterns）或周期结构（Perlodical Patterns)。由于这些结构可看作是一种滤波器（Filter），故可应用到图像处理的研究中。

⑶混沌型：自任何初始状态开始，经过一定时间运行后，元胞自动机表现出混沌的非周期行为，所生成的结构的统计特征不再变止，通常表现为分形分维特征。

⑷复杂型：出现复杂的局部结构，或者说是局部的混沌，其中有些会不断地传播。

分别描述

从另一角度，元胞自动机可视为动力系统，因而可将初试点、轨道、不动点、周期轨和终极轨等一系列概念用到元胞自动机的研究中，上述分类，又可以分别描述为（谭跃进，1996；谢惠民，1994；李才伟、1997）；

⑴均匀状态，即点态吸引子，或称不动点；

⑵简单的周期结构，即周期性吸引子，或称周期轨；

⑶混沌的非周期性模式，即混沌吸引子；

⑷这第四类行为可以与生命系统等复杂系统中的自组织现象相比拟，但在连续系统中没有相对应的模式。但从研究元胞自动机的角度讲，最具研究价值的具有第四类行为的元胞自动机，因为这类元胞自动机被认为具有"突现计算"(Emergent Computation）功能，研究表明，可以用作广义计算机（Universal Computer）以仿真任意复杂的计算过程。另外，此类元胞自动机在发展过程中还表现出很强的不可逆（lrreversibility）特征，而且，这种元胞自动机在若干有限循环后，有可能会"死"掉，即所有元胞的状态变为零。

应用

元胞自动机可用来研究很多一般现象。其中包括通信、信息传递（Communicahon）、计算（Compulation）、构造 (Construction）、生长 (Growth）、复制 (Reproduction）、竞争（Competition）与进化（Evolutio，]）等（SmithA.,1969;Perrier，J.Y.,1996）。同时。它为动力学系统理论中有关秩序 (Ordering）、紊动 (Turbulence）、混沌 (Chaos）、非对称（Symmetry-Breaking）、分形（Fractality）等系统整体行为与复杂现象的研究提供了一个有效的模型工具 (Vichhac。G，1984;Bennett，C,1985）。

元胞自动机自产生以来，被广泛地应用到社会、经济、军事和科学研究的各个领域。应用领域涉及社会学、生物学、生态学、信息科学、计算机科学、数学、物理学、化学、地理、环境、军事学等。

在社会学中

元胞自动机用于研究经济危机的形成与爆发过程、个人行为的社会性，流行现象，如服装流行色的形成等。在生物学中，元胞自动机的设计思想本身就来源于生物学自繁殖的思想，因而它在生物学上的应用更为自然而广泛。例如元胞自动机用于肿瘤细胞的增长机理和过程模拟、人类大脑的机理探索（Victor.Jonathan.D.，1990）、艾滋病病毒HIV的感染过程（Sieburg，H.B..1990）、自组织、自繁殖等生命现象的研究以及最新流行的克隆 (Clone）技术的研究等 (ErmentroutG。B。，1993）。

在生态学中

元胞自动机用于兔子-草，鲨鱼-小鱼等生态动态变化过程的模拟，展示出令人满意的动态效果；元胞自动机还成功地应用于蚂蚁、大雁、鱼类洄游等动物的群体行为的模拟；另外，基于元胞自动机模型的生物群落的扩散模拟也是当前的一个应用热点。在信息学中。元胞自动机用于研究信息的保存、传递、扩散的过程。另外。Deutsch(1972）、Sternberg(1980）和Rosenfeld(1979）等人还将二维元胞自动机应用到图像处理和模式识别中 (WoIfram.S.，1983）。

在计算机科学中

元胞自动机可以被看作是并行计算机而用于并行计算的研究（Wolfram.S.1983）。另外。元胞自动机还应用于计算机图形学的研究中。

在数学中，元胞自动机可用来研究数论和并行计算。例如Fischer(1965）设计的素数过滤器（Prime NumberSieves)(Wolfram,S.1983）。

在物理学中

除了格子气元胞自动机在流体力学上的成功应用。元胞自动机还应用于磁场、电场等场的模拟，以及热扩散、热传导和机械波的模拟。另外。元胞自动机还用来模拟雪花等枝晶的形成。

在化学中

元胞自动机可用来通过模拟原子、分子等各种微观粒子在化学反应中的相互作用，而研究化学反应的过程。例如李才伟 (1997）应用元胞自动机模型成功模拟了由耗散结构创始人I·Prgogine所领导的Brussel学派提出的自催化模型---Brusselator模型，又称为三分子模型。Y·BarYam等人利用元胞自动机模型构造了高分子的聚合过程模拟模型，在环境科学上，有人应用元胞自动机来模拟海上石油泄露后的油污扩散、工厂周围废水、废气的扩散等过程的模拟。

在军事科学中

元胞自动机模型可用来进行战场的军事作战模拟"提供对战争过程的aq理解（谭跃进等，1996）。

其他

元胞自动机作为一种动态模型，更多的是作为一种通用性建模的方法，其应用几乎涉及社会和自然科学的各个领域

生命游戏

生命游戏是英国数学家约翰·何顿·康威在1970年发明的细胞自动机。它最初于1970年10月在《科学美国人》杂志中马丁·葛登能（Martin Gardner，1914年11月21日－2010年5月22日。又译：马丁·加德纳）的“数学游戏”专栏出现。

概述

生命游戏其实是一个零玩家游戏，它包括一个二维矩形世界，这个世界中的每个方格居住着一个活着的或死了的细胞。一个细胞在下一个时刻生死取决于相邻八个方格中活着的或死了的细胞的数量。如果相邻方格活着的细胞数量过多，这个细胞会因为资源匮乏而在下一个时刻死去；相反，如果周围活细胞过少，这个细胞会因太孤单而死去。实际中，你可以设定周围活细胞的数目怎样时才适宜该细胞的生存。如果这个数目设定过高，世界中的大部分细胞会因为找不到太多的活的邻居而死去，直到整个世界都没有生命；如果这个数目设定过低，世界中又会被生命充满而没有什么变化。实际中，这个数目一般选取2或者3；这样整个生命世界才不至于太过荒凉或拥挤，而是一种动态的平衡。这样的话，游戏的规则就是：当一个方格周围有2或3个活细胞时，方格中的活细胞在下一个时刻继续存活；即使这个时刻方格中没有活细胞，在下一个时刻也会“诞生”活细胞。在这个游戏中，还可以设定一些更加复杂的规则，例如当前方格的状况不仅由父一代决定，而且还考虑祖父一代的情况。你还可以作为这个世界的上帝，随意设定某个方格细胞的死活，以观察对世界的影响。

在游戏的进行中，杂乱无序的细胞会逐渐演化出各种精致、有形的结构；这些结构往往有很好的对称性，而且每一代都在变化形状。一些形状已经锁定，不会逐代变化。有时，一些已经成形的结构会因为一些无序细胞的“入侵”而被破坏。但是形状和秩序经常能从杂乱中产生出来。

这个游戏被许多计算机程序实现了。Unix世界中的许多Hacker喜欢玩这个游戏，他们用字符代表一个细胞，在一个计算机屏幕上进行演化。著名的GNU Emacs编辑器中就包括这样一个小游戏。

细胞自动机（又称元胞自动机），名字虽然很深奥，但是它的行为却是非常美妙的。所有这些怎样实现的呢？我们可以把计算机中的宇宙想象成是一堆方格子构成的封闭空间，尺寸为N的空间就有N*N个格子。而每一个格子都可以看成是一个生命体，每个生命都有生和死两种状态，如果该格子生就显示蓝色，死则显示白色。每一个格子旁边都有邻居格子存在，如果我们把3*3的9个格子构成的正方形看成一个基本单位的话，那么这个正方形中心的格子的邻居就是它旁边的8个格子。

每个格子的生死遵循下面的原则：

1． 如果一个细胞周围有3个细胞为生（一个细胞周围共有8个细胞），则该细胞为生（即该细胞若原先为死，则转为生，若原先为生，则保持不变）。

2． 如果一个细胞周围有2个细胞为生，则该细胞的生死状态保持不变；

3． 在其它情况下，该细胞为死（即该细胞若原先为生，则转为死，若原先为死，则保持不变）

设定图像中每个像素的初始状态后依据上述的游戏规则演绎生命的变化，由于初始状态和迭代次数不同，将会得到令人叹服的优美图案。

这样就把这些若干个格子（生命体）构成了一个复杂的动态世界。运用简单的3条作用规则构成的群体会涌现出很多意想不到的复杂性为，这就是复杂性科学的研究焦点。

细胞自动机有一个通用的形式化的模型，每个格子（或细胞）的状态可以在一个有限的状态集合S中取值，格子的邻居范围是一个半径r，也就是以这个格子为中心，在距离它r远的所有格子构成了这个格子的邻居集合，还要有一套演化规则，可以看成是一个与该格子当前状态以及邻居状态相关的一个函数，可以写成f:S*S^((2r)^N-1)->S。这就是细胞自动机的一般数学模型。

最早研究细胞自动机的科学家是冯·诺伊曼，后来康韦发明了上面展示的这个最有趣的细胞自动机程序：《生命游戏》，而wolfram则详尽的讨论了一维世界中的细胞自动机的所有情况，认为可以就演化规则f进行自动机的分类，而只有当f满足一定条件的时候，系统演化出来的情况才是有活力的，否则不是因为演化规则太死板而导致生命的死亡，就是因为演化规则太复杂而使得随机性无法克服，系统乱成一锅粥，没有秩序。后来人工生命之父克里斯·朗顿进一步发展了元胞自动机理论。并认为具有8个有限状态集合的自动机就能够涌现出生命体的自复制功能。他根据不同系统的演化函数f，找到了一个参数lamda用以描述f的复杂性，得出了结论只有当lamda比混沌状态的lamda相差很小的时候，复杂的生命活系统才会诞生，因此，朗顿称生命诞生于“混沌的边缘”！并从此开辟了“人工生命”这一新兴的交叉学科！

MATLAB代码如下:

%生命游戏---元胞自动机
%每个格子的生死遵循下面的原则： 
%1． 如果一个细胞周围有3个细胞为生（一个细胞周围共有8个细胞），则该细胞为生（即该细胞若原先为死，则转为生，若原先为生，则保持不变） 。 
%2． 如果一个细胞周围有2个细胞为生，则该细胞的生死状态保持不变； 
%3． 在其它情况下，该细胞为死（即该细胞若原先为生，则转为死，若原先为死，则保持不变） 

function ca
m=10;n=10;%世界大小m*n
p=.7;%用于初始化生命(p理解为为每一点出现生命的概率)
h=1000;%h为生命游戏进行的轮数

%生命的随机初始化设定(前两重循环)
for x=1:m %对网格点的初始化
    for y=1:n
        r=rand(1); %r为U[0,1]中随机产生的一个数字   rand(1)中的1代表矩阵r的规模为1*1即一个数
        if r>p
            a(x,y)=1;
        else
            a(x,y)=0;
        end
    end
end
for x=1:m%根据网格初始化后的结果来进行网格生命初始化设定
    for y=1:n
        if a(x,y)==1 %如果网格点(x,y)为1,则生命方块(x-1,y-1) (x-1,y) (x,y-1) (x,y)赋予生命
            fx=[x-1,x-1,x,x];
            fy=[y-1,y,y,y-1];
            fill(fx,fy,'g')%填涂绿色表示获得生命
            hold on
        else %否则保持不变,即不获得生命
        end
    end
end


for k=1:h %一共进行h轮生命游戏
    fx=[0,m,m,0];
    fy=[0,0,n,n];
    fill(fx,fy,'k'),%新的一轮开始,将所有的格子全部涂黑,按上一轮得到的新的a来重新涂色,便于观察
    hold on
    
    for x=2:m-1%遍历每一个点
        for y=2:n-1
            %b(x,y)为点a(x,y)附近八个点的和
            b(x,y)=a(x-1,y-1)+a(x-1,y)+a(x-1,y+1)+a(x,y-1)+a(x,y+1)+a(x+1,y-1)+a(x+1,y)+a(x+1,y+1);
            if b(x,y)==2 %如果a(x,y)附近有两个点,a(x,y)保持不变
                c(x,y)=a(x,y);
            elseif b(x,y)==3,%如果a(x,y)附近有三个点,a(x,y)获得生命
                c(x,y)=1;
            else         %否则,a(x,y)失去生命
                c(x,y)=0;
            end
        end
    end
    %a的第一列和最后一列保持不变,因为上面的循环是从x=2:m-1 y=2:n-1
    c(1:m,1)=a(1:m,1);
    c(1:m,n)=a(1:m,n);
    
    for x=1:m %根据这一轮点的生命情况来确定它左下角这个格子的生命情况
        for y=1:n
            if c(x,y)==1
                fx=[x-1,x-1,x,x];
                fy=[y-1,y,y,y-1];
                fill(fx,fy,'g')
                hold on
            else
            end
        end
    end
pause(0.01)%停止0.02秒后开始下一轮
a=c;
end