深入理解感知机

1.模型

感知机的模型如下图所示：

公式表示如下所示：

f(x)=sign(w⋅x+b)sign(x)={+1−1x≥0x<0f(x)=sign(w⋅x+b)sign(x)={+1x≥0−1x<0

对于该分类器，其假设空间为特征空间的所有线性分类器，从几何学的角度可以理解为是特征空间中所有的超平面。那么，只要样本在特征空间中是线性可分的（可以被一个超平面完美划分），由感知机的假设空间，那么这个超平面一定在假设空间内，所以感知机是可以用于区分所有线性可分的样本。

2.学习策略

2.1.代价函数

感知机的目标是为了找到那个能完美划分线性可分样本的超平面。为了达到这个目标，我们需要定义代价函数。代价函数的意思是该函数刻画的是模型的性能，通常需要满足以下条件：

• 条件一：模型性能越好，代价函数越小，模型性能越差，代价函数越大
• 条件二：连续可导

条件一是使代价函数可以刻画模型性能，条件二是为了该模型可以使用梯度下降的方法优化

2.2.感知机代价函数选择

对于感知机，选取代价函数为：

L(w,b)=−∑xi∈Myi(w⋅xi+b)L(w,b)=−∑xi∈Myi(w⋅xi+b)

其中M为分类错误的样本集合。对于该代价函数，显而易见是连续可导的，且当分类错误的时候yiyi和w⋅xi+bw⋅xi+b异号，代价为正。则当模型性能好时，M中样本少，代价较小；模型性能差时，M中样本多，代价较大。

该代价函数还可以从几何学角度解释，空间中任意一点x0x0到超平面的距离为：

1||w||⋅|w⋅x0+b|1||w||⋅|w⋅x0+b|

由此，错误分类的样本yiyi和w⋅xi+bw⋅xi+b异号，由此有以下：

1||w||⋅|w⋅xi+b|=1||w||⋅(w⋅xi+b)⋅yi1||w||⋅|w⋅xi+b|=1||w||⋅(w⋅xi+b)⋅yi

取M为分类错误样本集合，则所有分类错误的样本到超平面距离如下：

−1||w||∑xi∈Myi(w⋅xi+b)−1||w||∑xi∈Myi(w⋅xi+b)

不考虑常数1||w||1||w||，则可以获得感知机代价函数L(w,b)=−∑xi∈Myi(w⋅xi+b)L(w,b)=−∑xi∈Myi(w⋅xi+b)

3.学习算法

3.1.基本算法

感知机算法是错误驱动的，由以上的代价函数，感知机的学习算法变为：

argminw,b(−∑xi∈Myi⋅(w⋅xi+b))argminw,b(−∑xi∈Myi⋅(w⋅xi+b))

为了使代价函数下降最快，向代价函数的负梯度方向优化w和b。对代价函数取w和b的梯度：

∇wL(w,b)=−∑xi∈Myi⋅xi∇bL(w,b)=−∑xi∈Myi∇wL(w,b)=−∑xi∈Myi⋅xi∇bL(w,b)=−∑xi∈Myi

由此可获得更新方法：

wn=wn−1−η⋅∇wL(wn−1,bn−1)bn=bn−1−η⋅∇bL(wn−1,bn−1)wn=wn−1−η⋅∇wL(wn−1,bn−1)bn=bn−1−η⋅∇bL(wn−1,bn−1)

其中，ηη为学习率，表示每一次更新的步长，学习率越大更新越明显。由此，每次选择一批错误分类的点，进行上述的优化，多次循环即可学得可以正确分类的感知机模型

3.2.对偶算法

将梯度表达式带入更新公式：

wn=wn−1+η⋅∑xi∈Myi⋅xibn=bn−1+η⋅∑xi∈Myiwn=wn−1+η⋅∑xi∈Myi⋅xibn=bn−1+η⋅∑xi∈Myi

若w和b的初始值都是0，η=1η=1，则可以认为w是错误样本的yi⋅xiyi⋅xi的和，b是错误样本标签的和，由此可以得到以下公式：

w=∑xi∈Mai⋅yi⋅xib=∑xi∈Mai⋅yiw=∑xi∈Mai⋅yi⋅xib=∑xi∈Mai⋅yi

其中aiai是该样本被错误分类的次数，可以发现，分类错次数越多的样本在参数中所占的比例越大。则每次选择一批数据输入，将分类错误的样本按更新公式计入参数，重复多次直到无错误样本即可。

4.延伸

4.1.感知机与支持向量机

感知机的对偶优化算法已经有一些支持向量机思想的影子——只有少数“关键样本”决定分类器超平面的位置，其他的样本并不重要，有对偶算法得到的w和b公式：

w=∑xi∈Mai⋅yi⋅xib=∑xi∈Mai⋅yiw=∑xi∈Mai⋅yi⋅xib=∑xi∈Mai⋅yi

可以将aiai视为样本的权值，分类错误次数越多该权值aiai越大，即该样本越重要。很自然的可以想到距离最终超平面越近的样本越容易分类错，这种样本的权值也就越高，这些样本也就越重要。

4.2.感知机与神经网络

感知机是神经网络的基础，感知机也被成为单层神经网络。感知机的一大缺陷是无法解决线性不可分问题，想要解决这一问题，需要将原来线性不可分的样本映射到另一个特征空间去，在该空间样本线性可分，映射方法主要有两种：

• 人工指定映射方法：手动指定映射的方法，代表为核函数（核方法）
• 自动寻找映射方法：使用机器学习的方法自动获得映射方法，代表为神经网络

神经网络可以分解如下：

当输入是线性不可分样本时，通过复杂的隐藏层（全连接层，卷积层或胶囊层）层层映射，最终在输出层之前将数据映射到一个线性可分的特征空间中，再由感知机进行线性分类。其中映射方法由神经网络自行学得。所有输出层为感知机层的神经网络都可以放在这个框架下理解。

除此以外，感知机还奠定了神经网络的基础理论。例如神经网络的基本学习框架也是梯度下降：使用反向传播计算梯度，优化算法迭代获得新的参数。

参考文献

《统计学习方法》李航

# NeuralNetwork