算法设计与分析基础学习笔记--第二章



汉诺塔问题
 场景一：
 有三根杆子A，B，C。A杆上有N个（N>=1）圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。
 把A上的圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在C柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放在大圆盘上，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。
 对于任意N，最少要移动多少次？
 使用数学归纳法
 当N为1时，需要1次
 当N为2时，A-->B, A-->C, B-->C, 需要3次
 当N为3时，A-->C, A-->B, C-->B, A-->C, B-->A, B-->C, A-->C, 需要7次
 ...
 假设sum(n) = 2^n - 1
 对于sum(n+1),先将A上编号为1...n盘子通过C移到B需要sum(n)次;然后在将第(n+1)号从A移到C上，
最后在将B上的 编号为1...n盘子通过A移到C上需要sum(n)次。
所以,sum(n+1) = sum(n) + 1 + sum(n) = 2*(2^n -1) + 1 = 2^(n+1)-1

场景二：
有三根杆子A，B，C。A杆上有N个（N>=1）圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。
 把A上的圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在C柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放在大圆盘上，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。
 对于任意N，编号为i的盘子最少要移动多少次？
 使用数学归纳法
 当N为1时，编号1移动1次
 当N为2时，A-->B, A-->C, B-->C, 编号1移动2次，编号2移动1次
 当N为3时，A-->C, A-->B, C-->B, A-->C, B-->A, B-->C, A-->C, 编号1移动4次，编号2移动2次，编号3移动1次
 ...
 假设sum(n,i) = 2^(n-i)
 对于sum(n+1,i),先将A上编号为1...n盘子通过C移到B;然后在将第(n+1)号从A移到C上，
最后在将B上的 编号为1...n盘子通过A移到C上需要。
发现编号为1...n移动的次数都增加为原来的2倍，编号为n+1只需要移动一次
所以，假设成立