[编程之美-10]面试当中的智力题(不定期更新)

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编程之美系列算法题集参考： 
左程云 著《程序员代码面试指南IT名企算法与数据结构题目最优解》 
July 著《编程之法面试和算法心得》 
何海涛 著《剑指offer》 
微软编程之美小组 著《编程之美》 
部分题目摘选PAT、HDOJ、POJ以及各大互联网公司Google，BAT等面试题集。

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题目1. Bash Game，有一堆石子，总共有n个。两个人轮流从这堆石子取石子。规定每次至少取1个，最多取m个。问什么时候先取的赢？什么时候后取的赢？

【解析】这道题是组合数学中经典的题目，假设先取的人是A，后取的人是B。在这里我们引入一个概念平衡状态，又称作奇异局势。当面对这个局势时则会失败。任意非平衡状态可以经过一次操作可以变为平衡状态。A和B都会努力使自己取完石子后的局势为平衡的，将这个平衡状态留给对方去破坏。因此，A会在初始为非平衡状态中取胜，B能够在初始为平衡的游戏中取胜。我们举个例子来解释，

A胜利情况：假设n=100，m=6；这种情况下A会取得胜利，为什么呢？因为，此时平衡状态就是n%m = 1，A只要保证这个平衡状态成立就可以了， 这时候A应该取3。接下来如果B取的数是x（假设x

B胜利情况：假设n=100，m=3；这种情况下B会取得胜利，为什么呢？因为，此时已经达到平衡状态，B只要一直处于平衡状态就可以获得胜利。

题目2. Nimm Game，有k堆石子，每堆有n个石子。两个人轮流从某一堆取任意多的石子。规定每次至少取一个，可以取任意个。取走最后的石头的获胜。问什么时候先取的赢？什么时候后取的赢？

【解析】该题和第1题相似，此题的平衡状态将每堆石子的个数进行求异或，如果异或后为0就为平衡状态。举个例子：

假设一共有3堆，分别为1， 2，3。此时异或的结果为1⊕2⊕3=0。则此时B可以获胜，无论A怎么取，B只要保证取完之后异或的结果为0就可以了。

如果初始的状态异或的结果不为0，A可以获胜，A只要保证每次取完之后，异或的结果为0就可以了。这里不进行详细阐述(因为我忘记如何证明了，组合数学学完全忘记差不多了，博主过于愚蠢)