业界毒瘤仙人掌一条龙服务

本slide是为了NJU集训队准备。。。。未完待续。。。

正经定义 ： 无向图中的每条边至多位于一个简单环上，且任意两点可达。

由此可知仙人掌的构造方式很“优美”，即生成一棵树，把树的某些节点，都各自变成一个简单环，就变成了仙人掌。因此仙人掌大体围绕两个重点：树边、简单环。

圆方树不仅可以解决仙人掌图的问题，对于一般图，可以将一个点双用一个方点代替，进而用圆方树的思路解决。

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入门篇

简单环判定 : codeforces 962F

题意：给出无向图，找到所有仅位于一个简单环上的边。

这里介绍仙人掌的基本姿势：tarjan求点双

原理：考虑仙人掌的两个组成元素：树边、简单环。我们重点要判断环是否是简单的，因此我们要想办法扔掉树边，而简单环同时也是点双(且为最特殊的点双，只有简单环的点双满足点数=边数的限制)，而树边显然不存在点双中，因此判断依据为：仙人掌森林<=>每个点双中点数=边数
代码

仙人掌判定&简单计数：Luogu P4129 [SHOI2006]仙人掌

题意：给出一个无向图，先判断是否为一棵仙人掌，然后求仙人掌的支撑子图个数。

支撑子图定义：去掉一些边，但不改变原图连通性，这样的子图即为支撑子图。

PS：生成树为极小支撑子图。

题解：1个仙人掌 <=> 连通性&点双均为简单环。
于是先dfs一次检验连通性，然后tarjan求点双，检验点双的点数=边数。

Ans=∏(环长+1) A n s = ∏ ( 环 长 + 1 )

另外:本题需要使用高精度姿势
代码

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进阶篇1：LCA在圆方树上的应用

预备姿势：圆方树   WC2017仙人掌课件

圆方树+LCA处理最小路径询问：BZOJ 2125 最短路

题意：给出带边权仙人掌图，多次询问两点间最短路径。
树的情况：一个LCA解决
非退化情况：建立圆方树，LCA为圆点则正常求值，LCA为方点，环上部分需要走较短的弧。
代码&讲解

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进阶篇2：普通树形DP在圆方树上的应用

预备姿势：圆方树   WC2017仙人掌课件

圆方树+DP求仙人掌直径：BZOJ1023[SHOI2008]cactus仙人掌图

题意：给出一个仙人掌图，求其直径。

仙人掌直径:Max(任意两点间的最短路径)

树的情况 ：简单通过DP解决：每个点记录经过不同儿子到叶子的最大和次大路径长。
非退化情况：对于圆点而言，他真实存在于原图中，因此经过圆点的路径都可以用上述DP方式解决。对于方点而言，由于方点代表一个环，那么经过方点意味着经过这个环，等价与求环基树的直径，使用经典的优先队列RMQ即可。
代码&详解

圆方树+DP求最大独立集：BZOJ 4316 小C的独立集

题意：给出一棵仙人掌图，求最大独立集点数。
树的情况：简单01DP。
非退化情况：对于圆点而言，采用树上相同的01DP。对于方点，由于他代表一个环，我们可以通过dp[0/1]对环的根节点的贡献情况，推断出环的dp[0/1]的意义，即dp[0]表示不加任何限制情况下，除环的根节点之外的部分最大独立集点数；dp[1]表示不能选和 环的根节点 直接相连的两个点的情况下，除环的根节点之外的部分最大独立集点数，单独使用另外一个DP进行计算即可。
代码&详解

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进阶篇3：树上经典算法&数据结构在圆方树上的应用

圆方树+树链剖分+线段树：codeforces 487E Tourists

题意：给出一个连同的无向图，有点权。要求支持两种操作：查询x，y所有简单路径上的最小点权；修改某点点权。
x-y简单路径的并：用点双来缩点+圆方树处理成树。然后路径的并就是树上x-y的路径上的点所在点双的并。
于是让方点代表整个点双（除掉点双中dep最小的圆点，防止修改操作退化）的最小点权，并用可删除堆维护，再用链剖+线段树维护树链可以快速查询。
代码&详解