伸展树的特性及实现

除了AVL树，本章将按照二叉搜索树的介绍，继续介绍平衡二叉搜索树家族中的另一个成员—Splay伸展树。

相对于AVL，Splay的实现更为简捷。伸展树无需时刻都严格地保持全树的平衡，但却能够在任何足够长的真实操作序列中，保持分摊意义上的高效率。伸展树也不需要对基本的二叉树节点结构，做任何附加的要求或改动，更不需要记录平衡因子或高度之类的额外信息，故适用范围更广。

通常在任意数据结构的生命期内，执行不同操作的概率往往极不均衡，而且各操作之间具有极强的相关性，并在整体上多呈现出极强的规律性。其中最为典型的，就是所谓的“数据局部性”(data locality)，这包括两个方面的含义:

• 刚刚被访问过的元素，极有可能在不久之后再次被访问到
• 将被访问的下一元素，极有可能就处于不久之前被访问过的某个元素的附近

如果将该策略应用于二叉搜索树。只需将刚被访问的节点，及时地“转移”至树根(附近)，即可加速后续的操作。当然， 转移前后的搜索树必须相互等价，故为此使用前文介绍的“旋转“等价变换的技巧。

逐层伸展

每访问过一个节点之后，随即反复地以它的父节点为轴，经适当的旋转将其提升一层，直至最终成为树根。以下图为例，若深度为3的节点E刚被访问–无论查找或插入，甚至“删除”都可通过3次旋转，将该树等价变换为以E为根的另一棵二叉搜索树

随着节点E的逐层上升，两侧子树的结构也不断地调整，故这一过程也形象地称作伸展 (splaying)，而采用这一调整策略的二叉搜索树也因此得名。不过，为实现真正意义上的伸 展树，还须对以上策略做点微妙而本质的改进。之所以必须改进，是因为目前的策略仍存在致命 的缺陷—对于很多访问序列，单次访问的分摊时间复杂度在极端情况下可能高达n。

不难验证，若从空树开始依次插入关键码{ 1, 2, 3, 4, 5 }，且其间采用如上调整策略，
则可得到如下图所示的二叉搜索树。

在各次访问之后，为将对应节点伸展调整至树根，分别需做4、4、3、2和1次旋转。

一般地，若节点总数为n，则旋转操作的总次数应为:
(n - 1) + { (n - 1) + (n - 2) + … + 1 }= (n2 +n-2)/2 = n的平方。

如此分摊下来，每次访问平均需要n时间。很遗憾，这一效率不仅远远低于AVL树，而且甚至与原始的二叉搜索树的最坏情况相当。

而事实上，问题还远不止于此。稍做比对即不难发现，上图a与f中二叉搜索树的结构完全相同。也就是说，经过以上连续的5次访问之后，全树的结构将会复原!
这就意味着，以上情况可以持续地再现。
当然，这一实例，完全可以推广至规模任意的二叉搜索树。于是对于规模为任意n的伸展树， 只要按关键码单调的次序，周期性地反复进行查找，则无论总的访问次数m >> n有多大，就分摊意义而言，每次访问都将需要n时间!

双层伸展

为克服上述伸展调整策略的缺陷，一种简便且有效的方法就是:将逐层伸展改为双层伸展。 具体地，每次都从当前节点v向上追溯两层(而不是仅一层)，并根据其父亲p以及祖父g的相对位置，进行相应的旋转。主要以下分三类情况：

zig-zig/zag-zag

如下图所示， 设v是p的左孩子，且p也是g的左孩子;
设W和X分别是v的左、右子树，Y和Z分别是p和g的右子树。

针对这种情况，首先以节点g为轴做顺时针旋转zig(g)，其效果如图(b)所示。然后，再以p
为轴做顺时针旋转zig(p)，其效果如图(c)所示。如此连续的两次zig旋转，合称zig-zig调整。 自然地，另一完全对称的情形，v是p的右孩子，且p也是g的右孩子，则可通过连续的
两次逆时针旋转实现调整，合称zag-zag操作。

zig-zag/zag-zig

如下图所示，设v是p的左孩子，而p是g的右孩子;
设W是g的左子树，X和Y分别是v的左右子树，Z是p的右子树。

针对这种情况，首先以节点p为轴做顺时针旋转zig(p)，其效果如(b)所示。然后，再以g
为轴做逆时针旋转zag(g)，其效果如图(c)所示。如此zig旋转再加zag旋转，合称zig-zag调整。 同样地，另一完全对称的情形–v是p的右孩子，而p是g的左孩子—则可通过zag旋转再加zig旋转实现调整，合称zag-zig操作。

zig/zag

如下图所示，若v最初的深度为奇数，则经过若干次双层调整至最后一次调整时，
v的父亲p即是树根r。

将v的左、右子树记作X和Y，节点p = r的另一子树记作Z。
此时，只需围绕p = r做顺时针旋转zig(p)，即 可如图(b)所示，使v最终攀升至树根，从而结束整个伸展调整的过程。

综合以上各种情况，每经过一次双层调整操作，节点v都会上升两层。若v的初始深度depth(v) 为偶数，则最终v将上升至树根。若depth(v)为奇数，则当v上升至深度为1时，不妨最后再相应 地做一次zig或zag单旋操作。无论如何，经过depth(v)次旋转后，v最终总能成为树根。

回顾最开始的单层伸展的例子中：在可持续重复的过程中，二叉搜索树的高度始终不小于n/2; 而且，至少有一半的节点在接受访问时，不仅没有如最初设想的那样靠近树根，而且反过来恰恰处于最底层。 从树高的角度看，问题根源也可再进一步地解释为：在持续访问的过程中，树高依算术级数逐步从n - 1递减至n/2，然后再逐步递增回到n - 1。

以如下图所示的二叉搜索树为例，在find(1)操作之后，采用逐层调整策略与双层调 整策略的效果，分别如图(a)和图(c)所示。

可见，最深节点(1)被访问之后再经过双层调整，不仅同样可将该节点伸展至树根，而且同时可使树的高度接近于减半。就树的形态而言，双层伸展策略可“智能”地“折叠”被访问的 子树分支，从而有效地避免对长分支的连续访问。这就意味着，即便节点v的深度为n，双层 伸展策略既可将v推至树根，亦可令对应分支的长度以几何级数(大致折半)的速度收缩。