图解算法学习笔记（八）：贪婪算法

目录

（1）背包问题

（2）集合覆盖问题

（3）NP完全问题

（4）小结

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本章内容：

• 学习如何处理没有快速算法的问题（NP完全问题）。
• 学习近似算法，使用它们找到NP问题的近似解。
• 学习贪婪策略。

（1）背包问题

假设你是个贪婪的小偷，背着可装35磅重东西的背包，在商场伺机盗窃各种可装入背包的商品。你力图往背包中装入价值最高的商品，你会使用哪种算法呢？你可使用贪婪策略：先盗窃可装入背包的最贵商品，再盗窃还可装入背包的最贵商品。但是此次这种贪婪策略可不好使了，例如，你可盗窃的商品有下面三种。

你的背包可装入35磅的东西，音响再贵，你把它给偷了，但背包没有空间装其他东西了。

你偷到了价值3000美元的东西。且慢！如果不是偷音响，而是投笔记本电脑和吉他，总价值为3500美元！

在这里，贪婪策略显然不能获得最优解，但非常接近。下一章将介绍如何找出最优解。

（2）集合覆盖问题

假设你办了个广播节目，要让全美50个州的听众都收听的到。为此，你需要决定在哪些广播台播出。在每个广播台播出都需要支付费用，因此你力图在尽可能少的广播台播出。现有广播台名单和每个广播台覆盖的区域。

如何找出覆盖全美50个州的最小广播台集合？解法为列出所有可能的集合，在这些集合中选出覆盖全美50个州的最小集合。我们需要计算每个可能的子集需要的时间。这非常耗时。

近似解法：

1. 选出这样一个广播台，即它覆盖了最多的未覆盖州。即便这个广播台覆盖了一些已覆盖的州，也没有关系。
2. 重复第一步，直到覆盖了所有的州。 

这是一种近似算法。判断近似算法优劣的标准如下：

1. 速度有多快；
2. 得到的近似解与最优解的接近程度。

下面来看看解决这个问题的代码。

# You pass an array in, and it gets converted to a set.
states_needed = set(["mt", "wa", "or", "id", "nv", "ut", "ca", "az"])

stations = {}
stations["kone"] = set(["id", "nv", "ut"])
stations["ktwo"] = set(["wa", "id", "mt"])
stations["kthree"] = set(["or", "nv", "ca"])
stations["kfour"] = set(["nv", "ut"])
stations["kfive"] = set(["ca", "az"])

final_stations = set()

while states_needed:
  best_station = None
  states_covered = set()
  #一次for循环找出最佳best_station,知道states_needed为空
  for station, states in stations.items():
    covered = states_needed & states
    if len(covered) > len(states_covered):
      best_station = station
      states_covered = covered

  states_needed -= states_covered
  final_stations.add(best_station)

print(final_stations)

 

（3）NP完全问题

旅行商问题，旅行商需要前往5个不同的城市，他需要找出前往这5个城市的最短路径。为此，必须计算每条可能的路径。

前往5个城市时，可能的路径有120条。这就是NP完全问题，需要计算所有可能的路径。

如何识别NP完全问题：

NP完全问题无处不在！如果能够判断一个问题属于NP完全问题，就不用去寻找完美的解决方案！而是使用近似算法即可。以下条件可帮助判断问题是不是NP完全问题。

• 元素较少时算法的运行速度非常快，但随着元素数量的增加，速度会变得非常慢。
• 涉及“所有组合”的问题通常是NP完全问题。
• 不能将问题分成小问题，必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题。
• 如果问题涉及序列（如旅行商问题中的城市序列）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
• 如果问题涉及集合（如广播台集合）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
• 如果问题可转换为集合覆盖问题或旅行商问题，那它肯定是NP完全问题。

（4）小结

• 贪婪算法寻找局部最优解，企图以这种方式获得全局最优解。
• 对于NP完全问题，还没有找到快速解决的方案。
• 面临NP完全问题时，最佳的做法是使用近似算法。
• 贪婪算法易于实现，运行速度快，是不错的近似算法。