交叉熵、相对熵及KL散度通俗理解

原文转载自http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44239919

本文是《Neural networks and deep learning》概览 中第三章的一部分，讲machine learning算法中用得很多的交叉熵代价函数。

1. 从方差代价函数说起

代价函数经常用方差代价函数（即采用均方误差MSE），比如对于一个神经元（单输入单输出，sigmoid函数）,定义其代价函数为：

C=y−a 2 2  

其中y是我们期望的输出，a为神经元的实际输出【 a=σ(z), where z=wx+b 】。

在训练神经网络过程中，我们通过梯度下降算法来更新w和b，因此需要计算代价函数对w和b的导数：

∂C∂ω =(a−y)σ ′ (z)x=aσ ′ (z) 

∂C∂b =(a−y)σ ′ (z)=aσ ′ (z) 

然后更新w、b：
w <—— w - η* ∂C/∂w = w - η * a *σ′(z)

b <—— b - η* ∂C/∂b = b - η * a * σ′(z)
因为sigmoid函数的性质，导致σ′(z)在z取大部分值时会很小（如下图标出来的两端，几近于平坦），这样会使得w和b更新非常慢（因为η * a * σ′(z)这一项接近于0）。

2. 交叉熵代价函数（cross-entropy cost function）

为了克服这个缺点，引入了交叉熵代价函数（下面的公式对应一个神经元，多输入单输出）：

C=−1n ∑ x [ylna+(1−y)ln(1−a)] 

其中y为期望的输出，a为神经元实际输出【a=σ(z), where z=∑Wj*Xj+b】
与方差代价函数一样，交叉熵代价函数同样有两个性质：

• 非负性。（所以我们的目标就是最小化代价函数）
• 当真实输出a与期望输出y接近的时候，代价函数接近于0.(比如y=0，a～0；y=1，a~1时，代价函数都接近0)。

另外，它可以克服方差代价函数更新权重过慢的问题。我们同样看看它的导数：

∂C∂ω j  =1n ∑ x x j (σ(z)−y). 

∂C∂b =1n ∑ x (σ(z)−y). 

可以看到，导数中没有σ′(z)这一项，权重的更新是受σ(z)−y这一项影响，即受误差的影响。所以当误差大的时候，权重更新就快，当误差小的时候，权重的更新就慢。这是一个很好的性质。

3. 总结

• 当我们用sigmoid函数作为神经元的激活函数时，最好使用交叉熵代价函数来替代方差代价函数，以避免训练过程太慢。
• 不过，你也许会问，为什么是交叉熵函数？导数中不带σ′(z)项的函数有无数种，怎么就想到用交叉熵函数？这自然是有来头的，更深入的讨论就不写了，少年请自行了解。
• 另外，交叉熵函数的形式是−[ylna+(1−y)ln(1−a)]而不是 −[alny+(1−a)ln(1−y)]，为什么？因为当期望输出的y=0时，lny没有意义；当期望y=1时，ln(1-y)没有意义。而因为a是sigmoid函数的实际输出，永远不会等于0或1，只会无限接近于0或者1，因此不存在这个问题。

4. 还要说说：log-likelihood cost

对数似然函数也常用来作为softmax回归的代价函数，在上面的讨论中，我们最后一层（也就是输出）是通过sigmoid函数，因此采用了交叉熵代价函数。而深度学习中更普遍的做法是将softmax作为最后一层，此时常用的是代价函数是log-likelihood cost。

In fact, it’s useful to think of a softmax output layer with log-likelihood cost as being quite similar to a sigmoid output layer with cross-entropy cost。

其实这两者是一致的，logistic回归用的就是sigmoid函数，softmax回归是logistic回归的多类别推广。log-likelihood代价函数在二类别时就可以化简为交叉熵代价函数的形式。具体可以参考UFLDL教程

5. 熵与KL散度

链接：https://www.zhihu.com/question/41252833/answer/108777563

熵的本质是香农信息量 (log1p )  的期望。
现有关于样本集的2个概率分布p和q，其中p为真实分布，q非真实分布。按照真实分布p来衡量识别一个样本的所需要的编码长度的期望(即平均编码长度)为： H(p)=∑ i p(i)∗log1p(i)   ，如果使用错误分布q来表示来自真实分布p的平均编码长度，则应该是： H(p,q)=∑ i p(i)∗log1q(i) 。  因为用q来编码的样本来自分布p，所以期望H(p,q)中概率是p(i)。H(p,q)我们称之为“交叉熵”。

比如含有4个字母(A,B,C,D)的数据集中，真实分布p=(1/2, 1/2, 0, 0)，即A和B出现的概率均为1/2，C和D出现的概率都为0。计算H(p)为1，即只需要1位编码即可识别A和B。如果使用分布Q=(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)来编码则得到H(p,q)=2，即需要2位编码来识别A和B(当然还有C和D，尽管C和D并不会出现，因为真实分布p中C和D出现的概率为0，这里就钦定概率为0的事件不会发生啦)。

可以看到上例中根据非真实分布q得到的平均编码长度H(p,q)大于根据真实分布p得到的平均编码长度H(p)。事实上，根据Gibbs’ inequality可知，H(p,q)>=H(p)恒成立，当q为真实分布p时取等号。我们将由q得到的平均编码长度比由p得到的平均编码长度多出的bit数称为“相对熵”： D(p||q)=H(p,q)−H(p)=∑ i p(i)∗logp(i)q(i) ，  其又被称为KL散度(Kullback–Leibler divergence，KLD) Kullback–Leibler divergence。它表示2个函数或概率分布的差异性：差异越大则相对熵越大，差异越小则相对熵越小，特别地，若2者相同则熵为0。注意，KL散度的非对称性。

比如TD-IDF算法就可以理解为相对熵的应用：词频在整个语料库的分布与词频在具体文档中分布之间的差异性。

交叉熵可在神经网络(机器学习)中作为损失函数，p表示真实标记的分布，q则为训练后的模型的预测标记分布，交叉熵损失函数可以衡量p与q的相似性。交叉熵作为损失函数还有一个好处是使用sigmoid函数在梯度下降时能避免均方误差损失函数学习速率降低的问题，因为学习速率可以被输出的误差所控制。

PS：通常“相对熵”也可称为“交叉熵”，因为真实分布p是固定的，D(p||q)由H(p,q)决定。当然也有特殊情况，彼时2者须区别对待。

注：转载的这篇博文对于信息熵的举列子里，信息熵的求解中对数是以2为底的，即是 log 2   。
关于信息熵和相对熵这个问题，知乎上ID为CyberRep的答主答的挺好，链接：https://www.zhihu.com/question/41252833

参考：
转自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/29321631