算法与数据结构基础 - 折半查找(Binary Search)

Binary Search基础

应用于已排序的数据查找其中特定值，是折半查找最常的应用场景。相比线性查找(Linear Search)，其时间复杂度减少到O(lgn)。算法基本框架如下：

   //704. Binary Search
   int search(vector<int>& nums, int target) {   //nums为已排序数组
        int i=0,j=nums.size()-1;
        while(i<=j){
            int mid=(i+j)/2;
            if(nums[mid]==target) return mid;
            else if(nums[mid]>target) j=mid-1;
            else i=mid+1;
        }
        return -1;
    }

以上查找范围的上下限 i 和 j 代表索引，算法过程可视化：Binary Search，STL中有序区间函数upper_bound/lower_bound内用的查找方法即是折半查找。

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按值范围折半查找

折半查找还可以应用于非有序区间查找满足特定条件的值。该场景下所找的值 在已知范围内，这时折半的不是索引，而是 值本身所在的范围。算法基本框架如下：

    //287. Find the Duplicate Number
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        int i=1,j=n-1;    //[i,j]表示值的区间
        while(i<=j){
            int mid=(i+j)/2,count=0;
            for(auto k:nums) 
                if(k<=mid) ++count;    //根据计数折半缩小区间if(count<=mid) i=mid+1;
            else j=mid-1;
        }
        return i;    //最终返回值本身
    }

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折半查找求递增序列

求递增序列(LIS, longest increasing subsequence)是一道经典的算法题目，用折半查找对其进行求解的方法十分巧妙，求解代码如下：

    //300. Longest Increasing Subsequence
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int size=0;
        vector<int> tail(nums.size());    //候选递增序列集for(auto num:nums){
            int i=0,j=size;
            while(i<j){
                int mid=(i+j)/2;
                if(tail[mid]1;
                else j=mid;
            }
            tail[i]=num;
            if(i==size) size++;
        }
        return size;
    }

以上设定LIS候选序列集 tail，对无序区间 nums 中的各个值通过折半查找的方法，找到其落在 tail 的位置，最终最长的序列长度即为所求。详细算法过程说明见 这里 这里

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