岭回归（Ridge Regression）、OLS和吉洪诺夫正则化（Тихонов regularization）

岭回归（Ridge Regression）、普通最小二乘（OLS）和吉洪诺夫正则化（Тихонов regularization）

线性模型和线性回归在机器学习相关教材上提到的比较少，一般在矩阵统计优化等数学理论相关的材料中才会介绍。本文简明介绍一下岭回归和普通最小二乘法（OLS）的关系，从而引出吉洪诺夫正则化的相关介绍。

常规的线性模型，Ax = b，对x进行求解，使得A中的数据的的某个变换和b的标签拟合的较好。求解的原则就是minimize quadratic cost，所以也叫least square 方法，如下即为损失函数：

可以看成是求解一个矩阵方程Ax = b，希望通过min l2范数的方法来使得矩阵方程成立。

即 min_x | Ax - b |_2^2

上面的theorem表示，这个问题有显式解，这个解是由 (A’A) 求逆矩阵再乘上A’b得到的。这里可以发现一个问题，就是if rank(A) = n。那么如果rank(A)不等于n呢？即这个矩阵不满秩。何时会出现这种情况呢？我们知道，矩阵相乘的结果的秩不会大于两个乘数中小的那个，即 rank(MN) <= min{ rank(M), rank(N) }。所以，如果A是一个扁扁的矩阵的话，记为 p×q ，其中 p << q，那么乘积A’A的大小为q×q，但是rank小于等于p，所以不满秩。这个时候我们需要通过加一个东西，放在inv( * ) 里面，使得求逆矩阵可以操作，比如，把 A’A 变成 A’A + c I ，其中c是一个系数，而I是单位阵。这个操作改变了我们的求解的目标函数，使得x的解析表示变成了 x = ( A’A + c I ) A’ b，这对于处理病态回归问题是一个较好的方法。这种回归算法就叫做岭回归（Ridge Regression）。

所以由上面的角度来看，岭回归是解决病态回归问题的一种数学的方法，所谓病态问题就是，A’A不满秩，也就是说数据中的变量，或者特征，的数目特别多，而数据量又相对较少。可以理解为，特征数目多，从而问题复杂，数据不足以建模，因此常规的OLS（Ordinary Linear Regression）不足以解决，所以用了岭回归。

以上的解释基本都是基于矩阵计算的想法，实际上岭回归还有更简单也是更好理解的解释角度，那就是，岭回归实际上就是对OLS施加了一个吉洪诺夫正则化的惩罚项。也就是说，岭回归实际上是用来优化这样的一个问题：

当然通常我们看到的是这种形式：

所谓吉洪诺夫正则化就是对权重的l2-norm的惩罚项。

这样看来就很明显了，实际上由于数据不足或者特征相关性强，我们对学习的系数施加了一定条件的约束，使得其l2-norm不会过大。这样实际上是通过牺牲bias降低了模型的variance，从而提高泛化能力。

吉洪诺夫正则化的求解就是上面的方法。Gamma看成是sqrt(lambda)乘以单位阵I，那么就成了lambda为权重的对w的l2-norm正则项。所谓岭回归中的岭ridge，就是将这个解的表达式看成lambda的函数，做出来的关于lambda的变化曲线图的形状得名的，这个曲线叫做岭迹。

reference：

Lili “selected applications of convex optimization”

Max Welling’s note “Kernel ridge Regression”

2018年03月07日22:47:34

我当然不会试图摘月，我要月亮奔我而来。—— 演员，奥黛丽赫本