P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets

题目描述

农夫布朗的奶牛们正在进行斗争，因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品：麦香牛块。奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤。奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”。“看，”奶牛们说，“如果你只用一次能装3块、6块或者10块的三种包装盒包装麦香牛块，你就不可能满足一次只想买1、2、4、5、7、8、11、14或者17块麦香牛块的顾客了。劣质的包装意味着劣质的产品。”

你的任务是帮助这些奶牛。给出包装盒的种类数N(1<=N<=10)和N个代表不同种类包装盒容纳麦香牛块个数的正整数(1<=i<=256)，输出顾客不能用上述包装盒(每种盒子数量无限)买到麦香牛块的最大块数。如果所有购买方案都能得到满足或者不存在不能买到块数的上限，则输出0。 不能买到的最大块数（倘它存在）不超过2,000,000,000。

输入输出格式

输入格式：

第1行: 包装盒的种类数N

第2行到N+1行: 每个种类包装盒容纳麦香牛块的个数

输出格式：

输出文件只有一行数字：顾客不能用包装盒买到麦香牛块的最大块数或0(如果所有购买方案都能得到满足或者顾客不能买到的块数没有上限)。

输入输出样例

输入样例#1：

3
3
6
10

输出样例#1：

17

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 4.1

其实此题是一道数论题：摘自http://www.cnblogs.com/qilinart2/articles/4831156.html

最大无法表示成px+qy（x>=0,y>=0)的数

有俩个数p,q,且gcd(q,p)（最大公约数）=1,则最大无法表示成px+qy（x>=0,y>=0)的数是pq-q-p（对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy；而pq-q-p,就无法表示成px+qy）。
x>=0,y>=0很重要。

例p=4，q=5的情形(最大不能表示的数是11)

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1.
假设可以表示为pq-q-p
那么
px+qy=pq-q-p
p(x+1)+q(y+1)=pq
p|y+1, q|x+1 //整除
又p(x+1),q(y+1)<=pq
有(x+1=kq且y+1=(1-k)q)或(x+1=(1-k)p,且y+1=kp),k是正整数
但是x,y>=0故pq-q-p,就无法表示成px+qy
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2.
(p-1)(q-1)=pq-p-q+1
对于n>pq-q-p即n>=(q-1)(p-1)
gcd(p,q)=1
对于z 不妨设a>0>b,显然a>0
那么如果a>q,取a1=a-q,b1=b+p
那么有a1*p+b1*q=z.
如果a1>q，可以继续以得到
Ap+Bq=z,且0<|A| pq-p-q=(p-1)q-q=(q-1)p-p
对于n>pq-q-p
n=pq-q-p+k*min{p,q}+r
r 那么取A,B
Ap+Bq=r,且0<|A| 不妨设A>0
n=pq-q-p+k*min{p,q}+r
=(q-1)p-p+k*min{p,q}+Ap+Bq
=(A-1)p+(B+q-1)p+k*min{p,q}
其中(A-1),(B+q-1)>=0
那么无论min{p,q}是p还是q，都有
对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy

 

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请问;不能表示成5x+3y(x,y为非负整数)的最大整数是？自学考试初等数论中的题.

答案是7 显然在1~10中，符合题意的最大数为7，对于更大的数，显然不能是3或5的倍数，而任意的数模3余1或2，余1的，可以将3×3＋1换成5×2，余2的，可以将3＋2换成5，通过这种变换可以将十以上的数都变成5x＋3y这种形式，所以满足题意的数是7

于是最大数都只有625*625

一个背包型dp就好了：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define For(i,a,b) for(i=a;i<=b;++i)
#define rep(i,a,b) for(i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int dp[maxn];
int a[maxn];
int main(){
	int i,j,n;
	scanf("%d",&n);
	For(i,1,n){
		scanf("%d",&a[i]);
		dp[a[i]]=1;
	}
	For(i,1,n){
		For(j,a[i],100000){
			dp[j] = (dp[j] || dp[j-a[i]]);
		}
	}
	rep(i,100000,1)if(!dp[i]){if(i<70000)printf("%d\n",i);else cout<<0<