N*M格子捡苹果DP算法python

转载陈述：

http://www.hawstein.com/posts/dp-novice-to-advanced.html

平面上有N*M个格子，每个格子中放着一定数量的苹果。你从左上角的格子开始， 每一步只能向下走或是向右走，每次走到一个格子上就把格子里的苹果收集起来， 这样下去，你最多能收集到多少个苹果。

解这个问题与解其它的DP问题几乎没有什么两样。第一步找到问题的“状态”， 第二步找到“状态转移方程”，然后基本上问题就解决了。

首先，我们要找到这个问题中的“状态”是什么？我们必须注意到的一点是， 到达一个格子的方式最多只有两种：从左边来的(除了第一列)和从上边来的(除了第一行)。 因此为了求出到达当前格子后最多能收集到多少个苹果， 我们就要先去考察那些能到达当前这个格子的格子，到达它们最多能收集到多少个苹果。 (是不是有点绕，但这句话的本质其实是DP的关键：欲求问题的解，先要去求子问题的解)

经过上面的分析，很容易可以得出问题的状态和状态转移方程。 状态S[i][j]表示我们走到(i, j)这个格子时，最多能收集到多少个苹果。那么， 状态转移方程如下：

S[i][j]=A[i][j] + max(S[i-1][j], if i>0 ; S[i][j-1], if j>0)

其中i代表行，j代表列，下标均从0开始；A[i][j]代表格子(i, j)处的苹果数量。

S[i][j]有两种计算方式：1.对于每一行，从左向右计算，然后从上到下逐行处理；2. 对于每一列，从上到下计算，然后从左向右逐列处理。 这样做的目的是为了在计算S[i][j]时，S[i-1][j]和S[i][j-1]都已经计算出来了。

伪代码如下：

python实现：

a = [[5, 8, 5, 7, 1, 8],
     [1, 3, 2, 8, 7, 9],
     [7, 8, 6, 6, 8, 7],
     [9, 9, 8, 1, 6, 3],
     [2, 4, 10, 2, 6, 2],
     [5, 5, 2, 1, 8, 8],
     [5, 9, 2, 6, 8, 3]]
vv = [[0] * 6 for i in range(7)]

for i, di in enumerate(a):
    for j, dj in enumerate(di):
        m = n = 0
        if i > 0:
            m = vv[i - 1][j]
        if j > 0:
            n = vv[i][j - 1]
        vv[i][j] = a[i][j] + max(m, n)

for i, di in enumerate(a):
    for j, dj in enumerate(di):
        print a[i][j],
    print
print '========='
for i, di in enumerate(vv):
    for j, dj in enumerate(di):
        print vv[i][j],
    print