带你彻彻底底搞懂朴素贝叶斯公式

本文参考了该博客的实例，但该博客中的朴素贝叶斯公式计算错误，评论中的也不对，所以，重新写一篇。

一. 朴素贝叶斯

      朴素贝叶斯中的朴素一词的来源就是假设各特征之间相互独立。这一假设使得朴素贝叶斯算法变得简单，但有时会牺牲一定的分类准确率。

    首先给出贝叶斯公式：
    换成分类任务的表达式：
     我们最终求的p(类别|特征)即可！就相当于完成了我们的任务。

     则，朴素贝特斯公式为：

二. 实例解析

首先，给出数据如下:

现在给我们的问题是，如果一对男女朋友，男生想女生求婚，男生的四个特点分别是不帅，性格不好，身高矮，不上进，请你判断一下女生是嫁还是不嫁？

这是典型的二分类问题，按照朴素贝叶斯的求解，转换为P(嫁|不帅、性格不好、矮、不上进)和P(不嫁|不帅、性格不好、矮、不上进)的概率，最终选择嫁与不嫁的答案。

这里我们根据贝特斯公式:

由此，我们将(嫁|不帅、性格不好、矮、不上进)转换成三个可求的P(嫁)、P(不帅、性格不好、矮、不上进|嫁)、P(不帅、性格不好、矮、不上进)。进一步分解可以得:

P(不帅、性格不好、矮、不上进)=P(嫁)P(不帅|嫁)P(性格不好|嫁)P(矮|嫁)P(不上进|嫁)+P(不嫁)P(不帅|不嫁)P(性格不好|不嫁)P(矮|不嫁)P(不上进|不嫁)。

P(不帅、性格不好、矮、不上进|嫁)=P(不帅|嫁)P(性格不好|嫁)P(矮|嫁)P(不上进|嫁)

将上面的公式整理一下可得:

 P(嫁)=1/2、P(不帅|嫁)=1/2、P(性格不好|嫁)=1/6、P(矮|嫁)=1/6、P(不上进|嫁)=1/6。
 P(不嫁)=1/2、P(不帅|不嫁)=1/3、P(性格不好|不嫁)=1/2、P(矮|不嫁)=1、P(不上进|不嫁)=2/3
 但是由贝叶斯公式可得:对于目标求解为不同的类别，贝叶斯公式的分母总是相同的。所以，只求解分子即可：

于是，对于类别“嫁”的贝叶斯分子为：P(嫁)P(不帅|嫁)P(性格不好|嫁)P(矮|嫁)P(不上进|嫁)=1/2 * 1/2 * 1/6 * 1/6 * 1/6=1/864     
对于类别“不嫁”的贝叶斯分子为:P(不嫁)P(不帅|不嫁)P(性格不好|不嫁)P(矮|不嫁)P(不上进|不嫁)=1/2 * 1/3 * 1/2 * 1* 2/3=1/18。
经代入贝叶斯公式可得：P(嫁|不帅、性格不好、矮、不上进)=(1/864) / (1/864+1/18)=1/49=2.04%
P(不嫁|不帅、性格不好、矮、不上进)=(1/18) / (1/864+1/18)=48/49=97.96%
则P(不嫁|不帅、性格不好、矮、不上进) > P(嫁|不帅、性格不好、矮、不上进)，则该女子选择不嫁！

三. 朴素贝叶斯的优缺点

优点：

  (1） 算法逻辑简单,易于实现（算法思路很简单，只要使用贝叶斯公式转化即可！）
（2）分类过程中时空开销小（假设特征相互独立，只会涉及到二维存储）
缺点：
      朴素贝叶斯假设属性之间相互独立，这种假设在实际过程中往往是不成立的。在属性之间相关性越大，分类误差也就越大。

四. 朴素贝叶斯实战

    sklearn中有3种不同类型的朴素贝叶斯：

• 高斯分布型：用于classification问题，假定属性/特征服从正态分布的。
• 多项式型：用于离散值模型里。比如文本分类问题里面我们提到过，我们不光看词语是否在文本中出现，也得看出现次数。如果总词数为n，出现词数为m的话，有点像掷骰子n次出现m次这个词的场景。
• 伯努利型：最后得到的特征只有0(没出现)和1(出现过)。

  4.1  我们使用iris数据集进行分类

from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
from sklearn.model_selection import cross_val_score
from sklearn import datasets
iris = datasets.load_iris()
gnb = GaussianNB()
scores=cross_val_score(gnb, iris.data, iris.target, cv=10)
print("Accuracy:%.3f"%scores.mean())

     输出: Accuracy:0.953
 

  4.2 Kaggle比赛之“旧金山犯罪分类预测”

       题目数据：第一种获取方式：Kaggle网站上；第二种获取方式：百度网盘

        题目背景：『水深火热』的大米国，在旧金山这个地方，一度犯罪率还挺高的，然后很多人都经历过大到暴力案件，小到东西被偷，车被划的事情。当地警方也是努力地去总结和想办法降低犯罪率，一个挑战是在给出犯罪的地点和时间的之后，要第一时间确定这可能是一个什么样的犯罪类型，以确定警力等等。后来干脆一不做二不休，直接把12年内旧金山城内的犯罪报告都丢带Kaggle上，说『大家折腾折腾吧，看看谁能帮忙第一时间预测一下犯罪类型』。犯罪报告里面包括日期，描述，星期几，所属警区，处理结果，地址，GPS定位等信息。当然，分类问题有很多分类器可以选择，我们既然刚讲过朴素贝叶斯，刚好就拿来练练手好了。

     (1) 首先我们来看一下数据

import pandas as pd  
import numpy as np  
from sklearn import preprocessing  
from sklearn.metrics import log_loss  
from sklearn.cross_validation import train_test_split
train = pd.read_csv('/Users/liuming/projects/Python/ML数据/Kaggle旧金山犯罪类型分类/train.csv', parse_dates = ['Dates'])  
test = pd.read_csv('/Users/liuming/projects/Python/ML数据/Kaggle旧金山犯罪类型分类/test.csv', parse_dates = ['Dates'])  
train  

 我们依次解释一下每一列的含义：

• Date: 日期
• Category: 犯罪类型，比如 Larceny/盗窃罪 等.
• Descript: 对于犯罪更详细的描述
• DayOfWeek: 星期几
• PdDistrict: 所属警区
• Resolution: 处理结果，比如说『逮捕』『逃了』
• Address: 发生街区位置
• X and Y: GPS坐标

        train.csv中的数据时间跨度为12年，包含了将近90w的记录。另外，这部分数据，大家从上图上也可以看出来，大部分都是『类别』型，比如犯罪类型，比如星期几。

    （2）特征预处理

       sklearn.preprocessing模块中的 LabelEncoder函数可以对类别做编号，我们用它对犯罪类型做编号；pandas中的get_dummies( )可以将变量进行二值化01向量，我们用它对”街区“、”星期几“、”时间点“进行因子化。

#对犯罪类别:Category; 用LabelEncoder进行编号  
leCrime = preprocessing.LabelEncoder()  
crime = leCrime.fit_transform(train.Category)   #39种犯罪类型  
#用get_dummies因子化星期几、街区、小时等特征  
days=pd.get_dummies(train.DayOfWeek)  
district = pd.get_dummies(train.PdDistrict)  
hour = train.Dates.dt.hour  
hour = pd.get_dummies(hour)  
#组合特征  
trainData = pd.concat([hour, days, district], axis = 1)  #将特征进行横向组合  
trainData['crime'] = crime   #追加'crime'列  
days = pd.get_dummies(test.DayOfWeek)  
district = pd.get_dummies(test.PdDistrict)  
hour = test.Dates.dt.hour  
hour = pd.get_dummies(hour)  
testData = pd.concat([hour, days, district], axis=1)  
trainData 

    特征预处理后，训练集feature，如下图所示：

   (3) 建模

from sklearn.naive_bayes import BernoulliNB
import time
features=['Monday', 'Tuesday', 'Wednesday', 'Thursday', 'Friday', 'Saturday', 'Sunday', 'BAYVIEW', 'CENTRAL', 'INGLESIDE', 'MISSION',  
 'NORTHERN', 'PARK', 'RICHMOND', 'SOUTHERN', 'TARAVAL', 'TENDERLOIN']  
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(trainData[features], trainData['crime'], train_size=0.6)  
NB = BernoulliNB()  
nbStart = time.time()  
NB.fit(X_train, y_train)  
nbCostTime = time.time() - nbStart  
#print(X_test.shape)  
propa = NB.predict_proba(X_test)   #X_test为263415*17； 那么该行就是将263415分到39种犯罪类型中，每个样本被分到每一种的概率  
print("朴素贝叶斯建模%.2f秒"%(nbCostTime))  
predicted = np.array(propa)  
logLoss=log_loss(y_test, predicted)  
print("朴素贝叶斯的log损失为:%.6f"%logLoss)  

输出：

朴素贝叶斯建模0.55秒
朴素贝叶斯的log损失为:2.582561