直线上的点（扩展欧几里得算法）

描述下问题：求直线ax+bx+c=0上有多少个整点(x,y)满足x-[x1,x2],y-[y1,y2]。
根据数论的理论，要求ax+bx=-c的一个解(x0,y0)，先要求出ax+bx=gcd(a,b)的一个解(x1,y1)，然后根据gcd(a,b)，记作g,判断它与c的倍数，由(x1,y1)来得到解(x0,y0)，扩展欧几里得算法就是求ax+bx=gcd(a,b)的一个解的。
边界条件和欧几里得算法一样是b=0时，a=gcd,且此时x=1,y=0.
这里参考一篇博客给出想x,y状态更新的方程的解释：
参考的博客：http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595
欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd
当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？
假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？
我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：
gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)
对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？
这里：
x = y1
y = x1 – a/b*y1
所以每次进行状态改变就把y1赋给x,x1传入到y,然后更新y-=a/b*x
代码如下：

void gcd(int a, int b, int&d,int &x, int &y)
{
    if (!b){
        d = a; x = 1; y = 0;
    }
    else {
        gcd(b, a%b, d,y, x);
        y -= x*(a / b);
    }
}

根据得到的x,y的值和d（gcd的值）可以得到ax+bx=-c的解(x,y)，然后根据公式(x+kb’,y-ka’)得到该直线的通解，k为整数，即可解决直线上的点的问题。其中a’=a/gcd,b’=b/gcd
a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0也就是c是gcd(a,b)的整数倍_

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扩展欧几里德有什么用处呢？
求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元
什么叫乘法逆元？
a*x≡1(mod m)，注意这里的记号≡，表示a与1关于模m同余，amod m=1mod m，即a-1是m的整数倍
这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元
这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1
由之前的结论，1必须是gcd(a,m)的整数倍，所以呀，a，m必须是互质的。
接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？
因为x=x0+kb’=x+k*m/gcd=x+k*m
那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个。由上式可以知道x0%m就是我们要求的最小的同余解x

有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？因为我们要求的是正整数，所以

当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元:

int calc_inversemin(int a, int b)
{
    int x, y, d;
    gcd(a, -b, d, x, y);
    if (abs(1%d))return -1;
    x *= 1 / d;
    int m = abs(b);
    int ans = x%m;
    if (ans <= 0) ans += m;
    return ans;
}

注意判断是否存在逆元时，要在1%d处加绝对值，d代表最大公约数，但是最大公约数可能是负数，比输入参数是2,3的时候，转换成将2x≡1（mod 3）转换成方程为2x-3y=1,那么我们所求的是2和-3的最大公约数，所以第二个参数是-b，且2，-3的最大公约是-1，也说明是有逆元的。
但是为了记忆的简便，可以按下面模板进行记忆，即使对模线性方程组没考虑公约数的正负问题（不知道为什么。。尝试了几个例子，发现针对模线性方程而言，我要使用的是x，而x的系数没带负号，所以对结果按gcd(a,n)和gcd(a,-n)两者是一样的），也可以得到正确的答案：

typedef long long LL;
LL cal(LL a,LL b,LL c)  
{  
    LL x,y，gcd_num;  
    LL gcd(a,b,gcd_num,x,y);  
    if(c%gcd_num!=0) return -1;  
    x*=c/gcd_num;  
    b/=gcd_num;  
    if(b<0) b=-b;  
    LL ans=x%b;  
    if(ans<=0) ans+=b;  
    return ans;  
}