在分类算法中,损失函数通常可以表示成损失项和正则项的和,即有如下的形式:
其中, L(mi(w)) 为损失项, R(w) 为正则项。 mi 的具体形式如下:
对于损失项,主要的形式有:
在分类问题中,可以使用函数的正负号来进行模式判断,函数值本身的大小并不是很重要,0-1损失函数比较的是预测值 fw(x(i)) 与真实值 y(i) 的符号是否相同,0-1损失的具体形式如下:
以上的函数等价于下述的函数:
0-1损失并不依赖 m 值的大小,只取决于 m 的正负号。0-1损失是一个非凸的函数,在求解的过程中,存在很多的不足,通常在实际的使用中将0-1损失函数作为一个标准,选择0-1损失函数的代理函数作为损失函数。
Log损失是0-1损失函数的一种代理函数,Log损失的具体形式如下:
运用Log损失的典型分类器是Logistic回归算法。
对于Logistic回归算法,分类器可以表示为:
其中, y∈{0,1} 。为了求解其中的参数 w ,通常使用极大似然估计的方法,具体的过程如下:
1、似然函数
其中,
2、log似然
3、需要求解的是使得log似然取得最大值的 w ,可以转换为求最小值:
这便是交叉熵的具体形式。
由于Log损失的具体形式为:
其中, m=y(i)wTx(i) , y(i)∈{−1,1} ,Log损失函数的具体形式为:
Logistic回归与Log损失具有相同的形式,故两者是等价的。Log损失与0-1损失的关系可见下图。
Hinge损失是0-1损失函数的一种代理函数,Hinge损失的具体形式如下:
运用Hinge损失的典型分类器是SVM算法。
对于软间隔支持向量机,允许在间隔的计算中出现少许的误差 ξ⃗ =(ξ1,⋯,ξn) ,其优化的目标为:
约束条件为:
对于Hinge损失:
优化的目标是要求:
在上述的函数 fw(x(i)) 中引入截距 γ ,即:
并在上述的最优化问题中增加 L2 正则,即变成:
至此,令下面的不等式成立:
约束条件为:
则Hinge最小化问题变成:
约束条件为:
这与软间隔的SVM是一致的,说明软间隔SVM是在Hinge损失的基础上增加了 L2 正则。
指数损失是0-1损失函数的一种代理函数,指数损失的具体形式如下:
运用指数损失的典型分类器是AdaBoost算法。
AdaBoost算法是对每一个弱分类器以及每一个样本都分配了权重,对于弱分类器 φj 的权重为:
其中, R(φj) 表示的是误分类率。对于每一个样本的权重为:
最终通过对所有分类器加权得到最终的输出。
对于指数损失函数:
可以得到需要优化的损失函数:
假设 f~ 表示已经学习好的函数,则有:
而:
通过最小化 φ ,可以得到:
将其代入上式,进而对 θ 求最优解,得:
其中,
可以发现,其与AdaBoost是等价的。
感知损失是Hinge损失的一个变种,感知损失的具体形式如下:
运用感知损失的典型分类器是感知机算法。
感知机算法只需要对每个样本判断其是否分类正确,只记录分类错误的样本,其损失函数为:
对于感知损失:
优化的目标为:
在上述的函数 fw(x(i)) 中引入截距 b ,即:
上述的形式转变为:
对于max函数中的内容,可知:
对于错误的样本,有:
类似于Hinge损失,令下式成立:
约束条件为:
则感知损失变成:
即为:
Hinge损失对于判定边界附近的点的惩罚力度较高,而感知损失只要样本的类别判定正确即可,而不需要其离判定边界的距离,这样的变化使得其比Hinge损失简单,但是泛化能力没有Hinge损失强。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
xmin, xmax = -4, 4
xx = np.linspace(xmin, xmax, 100)
plt.plot([xmin, 0, 0, xmax], [1, 1, 0, 0], 'k-', label="Zero-one loss")
plt.plot(xx, np.where(xx < 1, 1 - xx, 0), 'g-', label="Hinge loss")
plt.plot(xx, np.log2(1 + np.exp(-xx)), 'r-', label="Log loss")
plt.plot(xx, np.exp(-xx), 'c-', label="Exponential loss")
plt.plot(xx, -np.minimum(xx, 0), 'm-', label="Perceptron loss")
plt.ylim((0, 8))
plt.legend(loc="upper right")
plt.xlabel(r"Decision function $f(x)$")
plt.ylabel("$L(y, f(x))$")
plt.show()