9.8 贝叶斯定理

假设有两个事件 a、b ，想要计算在事件 b 发生的条件下事件 a 的条件概率，记作 P(a|b) 。贝叶斯定理公式如下：

P(a|b)=P(b|a)P(a)P(b)

其中， P(b|a) 是事件 a 发生的条件下事件 b 的条件概率。 P(a) 是事件 a 的先验概率， P(b) 是事件 b 的先验概率。注意，对于变量 a 的先验概率是概率分布，并且我们得到的是在给定 b 的情况下， a 的可能值的完整分布而不是单个点估计。
举个关于HIV的例子：如果某人HIV测试结果呈阳性，并且测试出现假阳性的概率只有1%。似乎第一眼看上去得艾滋的概率达到了99%。那么我们可以使用贝叶斯定理：

P(HIV感染概率|阳性概率)=P(HIV概率)×P(阳性概率|HIV概率)/P(阳性概率)=0.003×0.99/0.01=0.297

这里，我们假定 P(HIV概率) 为一般人群感染HIV的概率，美国为0.003； P(阳性概率) 为无论有没有试验结果都呈阳性的概率，假设为0.01。所以对于一个阳性测试结果，实际感染HIV的概率却只有0.297。