机器学习算法-线性回归

一. 理论基础

1.1 凸函数

某个向量空间的凸子集（区间）上的实值函数，如果在其定义域上的任意两点 ，有 f(tx + (1-t)y) <= tf(x) + (1-t)f(y)，则称其为该区间上的凸函数；
更直观的理解：

1.2 线性

	线性不等于直线

线性函数的定义是：一阶（或更低阶）多项式，或零多项式。
当线性函数只有一个自变量时，y = f(x)；
但如果有多个独立自变量,表示为：
$$f(x_1,x_2,......)=a+b_1{x}_1+........+b_k{x}_k$$
总结: 特征是一维的，线性模型在二维空间构成一条直线；特征是二维的，线性模型在三维空间中构成一个平面；若特征是三维的，则最终模型在四维空间中构成一个体；以此类推……

1.3 极大似然估计

极大似然估计：从样本中随机抽取n个样本，而模型的参数估计量使得抽取的这n个样本的观测值的概率最大。最大似然估计是一个统计方法，它用来求一个样本集的概率密度函数的参数。

二. 线性回归模型（目标函数）

2.1 线性回归定义

利用线性函数对一个或多个自变量 （x 或 ($x_1,x_2,.......,x_k$)）和因变量（y）之间的关系进行拟合的模型

2.2 线性回归模型

一般线性模型表示：
$$\hat{y}={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+......{\theta }_n{x}_n$$
其中 $x_1,x_2$等表示不同的特征， ${\theta }_0，{\theta }_1$等表示权重； 通过向量的形式表示为：$\hat{y}=h_{\theta }(x)={\theta }^{T}x$

三. 代价函数求解

3.1 定义代价函数的方法

3.1.1 最小二乘法

线性模型用一个直线(平面)拟合数据点，找出一个最好的直线(平面)即要求每个真实点距离平面的距离最近。即使得残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）最小：
$$RSS(X,h_{\theta })=\sum _{i=0}^m({\theta }^T{x}^i-y^i{)}^2$$
另一种情况下，为消除样本量的差异，也会用最小化均方误差（MSE）拟合：
$$MSE(X,h_{\theta })=\frac{1}{m}\sum _{i=0}^m({\theta }^T{x}^i-y^i{)}^2$$

3.1.2 极大似然法

真实值与预测值存在的差异(用 ε表示误差):$y^{(i)}={\theta }^T{x}^i+{\epsilon }^{(i)}$
且误差${\epsilon }^{(i)}$ 是独立并且同分布的， 并且服从均值为 0 方差 为${\theta }^2$的高斯分布:
$$p({\epsilon }^{(i)})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{({\epsilon }^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2})$$
$$p({\epsilon }^{(i)})=p(y^{(i)}\mid x^i,{\epsilon }^{(i)})$$
查看具体推导

3.2 代价函数求解

3.2.1 正规方程

wiki矩阵求导

3.2.2 梯度下降

• 批量梯度下降(Batch Gradient Descent)
  批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新。
  $${\theta }_i={\theta }_i-\alpha \sum _{j=0}^m(h_{\theta }(x_0^j,x_1^j.......,x_n^j)-y^j)x^i$$
  优点：得到全局最优解；易于并行实现
  缺点：当样本数目很多时，训练过程会很慢
  查看具体推导

• 随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent)
  随机梯度下降法，其实和批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本j来求梯度。对应的更新公式是：
  $${\theta }_i={\theta }_i-\alpha (h_{\theta }(x_0^j,x_1^j.......,x_n^j)-y^j)x^i$$
  优点：训练速度快
  缺点：准确度下降，可能跳出最优解，不是全局最优

• 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）
  进行迭代时选用部分样本， 1 $${\theta }_i={\theta }_i-\alpha \sum _{j=t}^{t+x-1}(h_{\theta }(x_0^j,x_1^j.......,x_n^j)-y^j)x^i$$

3.2.3 正规方程和梯度下降比较

四. 模型评估

回归评价指标 MSE(均方误差)、RMSE(均方根误差)、MAE(平均绝对误差)、R-Squared；Sklearn 中使用R-squared
查看几种误差详细介绍

五. Sklearn 参数说明

参考Datawhale

六. 理解L1和L2

为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合

参考

1.吴恩达机器学习
2.线性回归-Datawhale
3.机器学习回归分析-线性回归
4.李烨-机器学习极简入门课
5.线性回归-爖