4779. 【GDOI2017模拟9.14】鞍点（组合计数 +容斥）

Problem

https://jzoj.net/senior/#main/show/4779

给定一个$n\cdot m$的矩阵$A$，$A_{i,j}\in [1,k]$，定义合法点为这一行这一列中严格最大的点。求矩阵至少有一个合法点的数目。

$n,m\le 2000,k\le 10$

Solution

首先肯定是考虑容斥了。方案数 = 至少有一个合法点数目 - 至少有两个 +至少有三个 ……

我们考虑记$f_{i,j}$表示当前的矩阵最大值小于等于$i$，至少有$j$个合法点的数目。

转移必然是枚举一个值为$i+1$的合法点数目了。然后乘上一个组合数进行转移。为了不重不漏，可以把前面$j$个合法点看成一个整体，那么就剩下$n-j$行，$m-j$列，选出其中$k$种组合放合法点，由于这$k$行列顺序随意，所以方案数就是$$k!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-j}{k}\right)\ast f_{i,j}\to f_{i+1,j+k}$$当然，因为这$k$行$k$列中只放了$k$个点，其余点都可以放$[1,i]$中任意一个数，所以要再配上一个形如$i^j$的转移系数。

最后对于每个$f_{i,j}$，还要乘上一个形如$k^n$的系数，因为有些格还没放完。

注意转移$k=0$时的意义，实际上是做一个前缀和，因为$f_{i,j}$的含义是最大值小于等于$i$，并非一定要有$i$的值。我一开始傻到直接又做一遍前缀和，才发现可以直接$k=0$转移。。

Code

#include 

#define F(i, a, b) for (LL i = a; i <= b; i ++)

typedef long long LL;

const LL N = 2e3 + 10, K = 11;

using namespace std;

LL n, m, k, l, ans;
LL f[N][K], C[N][N], jc[N], KSM[K][2 * N * N];

int main() {
	scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &k, &l);

	jc[0] = 1;
	F(i, 0, max(n, m) + 1)
		C[i][0] = 1;
	F(i, 1, max(n, m) + 1)
		F(j, 1, max(n, m) + 1)
			C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % l;
	F(i, 1, max(n, m))
		jc[i] = 1ll * jc[i - 1] * i % l;
	F(j, 1, k) {
		KSM[j][0] = 1;
		F(i, 1, 2 * n * m)
			KSM[j][i] = KSM[j][i - 1] * j % l;
	}	

	f[0][1] = 1; int w = min(n, m);
	F(i, 0, w)
		F(j, 1, k - 1)
			if (f[i][j])
				F(t, 0, w - i)
					if (n - i >= t && m - i >= t)
						f[i + t][j + 1] = (f[i + t][j + 1] + 1ll * f[i][j] * C[n - i][t] % l * C[m - i][t] % l * jc[t] % l * KSM[j][(n + m - 2 * i - t - 1) * t] % l) % l;

	F(i, 1, w)
		ans = (ans + ((i & 1) ? (1) : (- 1)) * f[i][k] * KSM[k][(n - i) * (m - i)] % l) % l;

	printf("%d\n", (ans + l) % l);
}