【雅礼集训2017】Day2 棋盘游戏

【雅礼集训2017】Day2 棋盘游戏

题面： Alice 和 Bob 在玩一个游戏，给出一张 n×m 的棋盘，上面有一些点是障碍，游戏的开始，Alice 选定棋盘上任意一个不是障碍的格子，并且将一枚棋子放在其中，然后 Bob 先手，两人轮流操作棋子，每次操作必须将棋子从当前位置移动到一个相邻的无障碍且未经过的格子（即每个格子不允许经过两次），不能操作的人输，如果两人都按照最优策略操作，请问初始时 Alice 将棋子放在哪些格子上有必胜策略？（ 1≤n,m≤100 ）

题解：将棋盘黑白染色，得到一张二分图。考虑最大匹配。
如果存在完美匹配，那么Bob每步都可以沿着一条匹配边走，Alice必须沿着非匹配边走，Bob拥有必胜策略。
如果不存在完美匹配，那么对于所有不一定在最大匹配上的点，Alice都拥有必胜策略：Bob走一条非匹配边，Alice走一条匹配边。
那么如何求出不一定在最大匹配上的点呢？
首先求出任意一个最大匹配。对于所有不在最大匹配上的点，如果其与某个匹配点相邻，那么必然存在一种最大匹配，使得这两个节点配对。事实上，它通过交叉路径的匹配边能够到达的所有节点都不一定在最大匹配上。这个统计可以用DFS实现。总复杂度为 O(Dinic+n2) 。

然而我这个蒟蒻考场上完全没有思路。知识体系还是有很大漏洞啊……