数独算法-递归与回溯

1.概述

数独（Sudoku）是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-9，不重复。
1)终盘数量:
数独中的数字排列千变万化，那么究竟有多少种终盘的数字组合呢？
6,670,903,752,021,072,936,960（约为6.67×10的21次方）种组合，2005年由Bertram Felgenhauer和Frazer Jarvis计算出该数字，并将计算方法发布在他们网站上，如果将等价终盘（如旋转、翻转、行行对换，数字对换等变形）不计算，则有5,472,730,538个组合。数独终盘的组合数量都如此惊人，那么数独题目数量就更加不计其数了，因为每个数独终盘又可以制作出无数道合格的数独题目。
2)标准数独:
目前（截止2011年）发现的最少提示数9×9标准数独为17个提示，截止2011年11月24日16:14，共发现了非等价17提示数谜题49151题，此数量仍在缓慢上升中，如果你先发现了17提示数的题目，可以上传至“17格数独验证”网站，当然你也可以在这里下载这49151题。
Gary McGuire的团队在2009年设计了新的算法，利用Deadly Pattern的思路，花费710万小时CPU时间后，于2012年1月1日提出了9×9标准数独不存在16提示唯一解的证明，继而说明最少需要17个提示数。并将他们的论文以及源代码更新在2009年的页面上。

以上内容来自于百度百科。

2.算法实现（Java）

网络上有很多解数独的算法，例如舞蹈链算法、遗传算法等。参考各种算法的性能比较：
递归回溯对数独情有独钟。
本文解数独用的是候选数法（人工选择）+万能搜索法，搜索+剪枝（递归+回溯），参考博文：
数独算法及源代码

1）未优化的算法-只有递归回溯（单解或多解）

从第一个位置开始依次检索所有格子（暴力），执行时间会比较长。
多解与单解：很简单，在找到解的语句返回false表示继续递归寻解，返回true表示停止寻解（不会复位，不回溯）

package com.sudoku;

import java.util.Date;


public class Sudoku {
    private int[][] matrix = new int[9][9];//注意下标从0开始
    private int count=0;//解的数量
    private int maxCount = 1;//解的最大数量
    //输入格式要求0作为占位符(表示待填)，只接受数字字符串，长度为81位
    public Sudoku(String input,int maxCount) throws Exception{
        if(input==null||input.length()!=81||!input.matches("[0-9]+"))
            throw new Exception("必须为81位长度的纯数字字符串");
        init(input);
        this.maxCount = maxCount;
    }
    public Sudoku(String input) throws Exception{
        this(input,1);
    }
    public Sudoku(){
    }
    public int getCount(){
        return count;
    }
    //初始化数独
    private void init(String input){
        for(int i=0;i1);
            int value = Integer.parseInt(s);
            matrix[i/9][i%9]=value;
        }
    }
    //万能解题法的“搜索+剪枝”,递归与回溯
    //从(i,j)位置开始搜索数独的解,i和j最大值为8
    private boolean execute(int i,int j){
        //寻找可填的位置（即空白格子），当前(i,j)可能为非空格，从当前位置当前行开始搜索
        outer://此处用于结束下面的双层循环
        for(int x=i;x<9;x++){
            for(int y=0;y<9;y++){
                if(matrix[x][y]==0){
                    i=x;
                    j=y;
                    break outer;
                }
            }
        }
        //如果从当前位置并未搜索到一个可填的空白格子，意味着所有格子都已填写完了，所以找到了解
        if(matrix[i][j]!=0){
            count++;
            System.out.println("第"+count+"种解:");
            output();
            if(count==maxCount)
                return true;//return true 表示只找寻一种解，false表示找所有解
            else
                return false;
        }
        //试填k
        for(int k=1;k<=9;k++){
            if(!check(i,j,k)) continue;
            matrix[i][j] = k;//填充
            //System.out.println(String.format("(%d,%d,%d)",i,j,k));
            if(i==8&&j==8) {//填的正好是最后一个格子则输出解
                count++;
                System.out.println("第"+count+"种解:");
                output();
                if(count==maxCount)
                    return true;//return true 表示只找寻一种解，false表示找所有解
                else
                    return false;
            }
            //计算下一个元素坐标，如果当前元素为行尾，则下一个元素为下一行的第一个位置（未填数），
            //否则为当前行相对当前元素的下一位置
            int nextRow = (j<9-1)?i:i+1;
            int nextCol = (j<9-1)?j+1:0;
            if(execute(nextRow,nextCol)) return true;//此处递归寻解，若未找到解，则返回此处,执行下面一条复位语句
            //递归未找到解，表示当前(i,j)填k不成功，则继续往下执行复位操作，试填下一个数
            matrix[i][j] = 0;
        }
        //1~9都试了
        return false;
    }
    public void execute(){
        execute(0,0);//从第一个位置开始递归寻解
    }
    //数独规则约束，行列宫唯一性,检查(i,j)位置是否可以填k
    private boolean check(int i,int j,int k){
        //行列约束,宫约束，对应宫的范围 起始值为(i/3*3,j/3*3),即宫的起始位置行列坐标只能取0,3,6
        for(int index=0;index<9;index++){
            if(matrix[i][index]==k) return false;
            if(matrix[index][j]==k) return false;
            if(matrix[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3]==k) return false; 
        }
        return true;
    }
    public void output(){
        for(int i=0;i<9;i++){
            for(int j=0;j<9;j++)
                System.out.print(matrix[i][j]);
            System.out.println();
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        try {
            //Sudoku sudoku = new Sudoku("000000000000000012003045000000000036000000400570008000000100000000900020706000500");
            Sudoku sudoku = new Sudoku("123456789456789123789123456234567891567891234891234567345000000000000000000000000",10);
            //Sudoku sudoku = new Sudoku();
            sudoku.output();
            Date begin = new Date();
            sudoku.execute();
            System.out.println("执行时间"+(new Date().getTime()-begin.getTime())+"ms");
            if(sudoku.getCount()==0) System.out.println("未找到解");
        } catch (Exception e) {
            e.printStackTrace();
        }
    }
}

执行效果：
原数独：

123456789
456789123
789123456
234567891
567891234
891234567
345000000
000000000
000000000

2）优化算法-添加（唯一法或唯余法、摒除法、三链数删减法）

由于前面一种未经过优化搜索条件，属于“暴力型”解法（Brute Force），若碰到需要递归非常大的空间时，消耗时间将是非常长的，还有可能会抛出内存溢出的异常。如果按照人的思维去解数独，绝对不会像计算机一样呆呆的一个一个地去试，相反，人工解数独首先考虑的是将候选数最少（通常为1，必填）的格子先肯定的填上去，各种方法都用尽后，所谓山穷水尽时才会考虑试填，（即计算机的运作方式：递归回溯），而试填时也是从最少的候选数的格子开始（通常为2），这样能有效的找到解，而计算机只能使用暴力。所以，在算法中加上人工智能选择的话，可以大大提高执行效率。
基本解题方法：隐性唯一解（Hidden Single）及显性唯一解（Naked Single），摒除法，余数法，候选数法
进阶解题方法：区块摒除法（Locked Candidates）、数组法（Subset）、四角对角线（X-Wing）、唯一矩形（Unique Rectangle）、全双值坟墓（Bivalue Universal Grave）、单数链（X-Chain）、异数链（XY-Chain）及其他数链的高级技巧等等。参考度娘：数独技巧

要仿照人工求解模式，需要采用候选数法对候选数进行删减法，其中可以应用到唯一（余）法，摒除法（行列宫）等。对应关系：
唯一（余）法：某个格子的候选数只剩下一个数字，则该数字必填如该格子。对应于唯一候选数法
摒除法：如果某个数字在某宫所有格子的所有候选数中总共只出现一次，则该数字必填入候选数包含它的那个格子中。行列情况同理。对应于隐性唯一候选数法。
三链数删减法:找出某一列、某一行或某一个九宫格中的某三个宫格候选数中，相异的数字不超过3个的情形，
进而将这3个数字自其它宫格的候选数中删减掉的方法就叫做三链数删减法。
这样程序执行流程是：

• 反复应用候选数删减法寻找必填项，直到候选数未发生变化（即找不到必填项了）

• 然后才递归寻解（如果上一步骤找到了解，那递归寻解只输出解了）

package com.sudoku;

import java.util.Date;
import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Sudoku {
    private int[][] matrix = new int[9][9];//注意下标从0开始
    private String[][] candidature= new String[9][9];//表示候选数
    private int count=0;//用于统计解的数量
    private int maxCount = 1;//解的最大数量
    //输入格式要求0作为占位符(表示待填)，只接受数字字符串，长度为81位
    public Sudoku(String input,int maxCount) throws Exception{
        if(input==null||input.length()!=81||!input.matches("[0-9]+"))
            throw new Exception("必须为81位长度的纯数字字符串");
        init(input);
        output();
        this.maxCount = maxCount<=0?1:maxCount;
        if(!isValid())
            throw new Exception("无效数独(有数字重复)");
        if(!initCandidature())
            throw new Exception("不合格数独（无解数独）");
    }
    public Sudoku(String input) throws Exception{
        this(input,1);
    }
    public Sudoku(){
    }
    public int getCount(){
        return count;
    }
    //初始化数独和候选数
    private void init(String input){
        for(int i=0;ilength();i++)
        {
            String s = input.substring(i, i+1);
            int value = Integer.parseInt(s);
            matrix[i/9][i%9]=value;
        }
    }
    //校验给出的数独题目是否为有效数独（即某行列宫中有重复的数字则无效）
    private boolean isValid(){
        Set rowSet = new HashSet();
        Set colSet = new HashSet();
        Set gridSet = new HashSet();
        for(int x=0;x<9;x++){//对应于行列宫号，对应宫的起始位置为(x/3*3,x%3*3)  取余与乘除优先级相同
            rowSet.clear();
            colSet.clear();
            gridSet.clear();
            for(int index=0;index<9;index++){
                if(matrix[x][index]>0&&!rowSet.add(matrix[x][index])){ //行重复
                    System.out.println(String.format("数独无效,第%d行重复！",x+1));
                    return false;
                }
                if(matrix[index][x]>0&&!colSet.add(matrix[index][x])){//列重复
                    System.out.println(String.format("数独无效,第%d列重复！",x+1));
                    return false;
                }
                if(matrix[x/3*3+index/3][x%3*3+index%3]>0&&!gridSet.add(matrix[x/3*3+index/3][x%3*3+index%3])){ 
                    System.out.println(String.format("数独无效,第%d宫重复！",x+1));
                    return false;//宫重复
                }
            }
        }
        return true;
    }
    //初始化候选数(唯一法或唯余法),数独无解返回false
    private boolean initCandidature() throws Exception{
        for(int i=0;i<9;i++){
            for(int j=0;j<9;j++){
                if(matrix[i][j]>0) continue;
                candidature[i][j]="";
                for(int k=1;k<=9;k++){
                    if(check(i,j,k))
                    {
                        candidature[i][j] += k;
                    }
                }
                //如果待填格子候选数个数为0，不合格数独（无解数独）
                if(candidature[i][j]==null||candidature.length==0)
                {
                    return false;//无解数独
                }
                //候选数个数为1，对应于唯一法或唯余法，可以100%的将该候选数填入该格子中，并重新计算候选数
                if(candidature[i][j].length()==1){
                    int k = Integer.parseInt(candidature[i][j]);
                    matrix[i][j] = k;
                    System.out.println(String.format("唯一(余)法必填项(%d,%d,%d)",i,j,k));
                    deleteCandidature(i,j,k);
                }
                //System.out.println(String.format("(%d,%d)",i,j)+"->"+candidature[i][j]);
            }
        }
        return true;
    }
    //删除(i,j)等位格群上的候选数k，当(i,j)上可以肯定的填入数字k时(等位格局包含除自身外共20个格子)
    //每次调用此方法后，候选数发生了变化，需要再次检查唯一（余）性质
    //只要有一个候选数发生了删减，则返回true
    private boolean deleteCandidature(int i,int j,int k){
        boolean change = false;
        for(int index=0;index<9;index++){
            if(matrix[i][index]==0&&candidature[i][index]!=null&&candidature[i][index].contains(""+k)) {
                candidature[i][index] = candidature[i][index].replace(""+k,"");
                change = true;
            }
            if(matrix[index][j]==0&&candidature[index][j]!=null&&candidature[index][j].contains(""+k)){
                candidature[index][j] = candidature[index][j].replace(""+k,"");
                change = true;
            }
            if(matrix[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3]==0&&candidature[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3]!=null
                    &&candidature[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3].contains(""+k)){
                candidature[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3] = candidature[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3].replace(""+k,"");
                change = true;
            }
        }
        return change;
    }
    //唯一法或唯余法或唯一候选数法，检查每个格子候选数的个数是否为1
    //此为最基础的方法、应用其他方法发生了删减候选数时都要应用此方法检查一遍
    private boolean single(){
        System.out.println("唯一法或唯余法:");
        boolean change = false;//表示是否候选数是否发生变化(当有删除候选数操作时则发生了变化)
        for(int i=0;i<9;i++){
            for(int j=0;j<9;j++){
                if(matrix[i][j]==0&&candidature[i][j].length()==1){
                    int k = Integer.parseInt(candidature[i][j]);
                    matrix[i][j] = k;
                    System.out.println(String.format("唯一(余)法必填项(%d,%d,%d)",i,j,k));
                    if(deleteCandidature(i,j,k))
                        change = true;
                }
            }
        }
        return change;//若无删减候选数操作，意味着一个必填项都没有找到返回false
    }
    //摒除法或隐性唯一候选数法,某个数字候选数只在该宫(行列)中的某一个格子出现（按照数字）,即在该宫所有格子所有候选数中总共只出现一次。
    private boolean exclude(){
        System.out.println("摒除法：");
        boolean change = false;//表示是否候选数是否发生变化(当有删除候选数操作时则发生了变化)
        int rowCount = 0;//行循环时，用于统计数字k出现的次数
        int colCount = 0;//列循环时，用于统计数字k出现的次数
        int gridCount = 0;//宫循环时，用于统计数字k出现的次数
        int rowPos = 0;//行循环时，用于标识k最后一次出现的位置
        int colPos = 0;//列循环时，用于标识k最后一次出现的位置
        int gridPos = 0;//宫循环时，用于标识k最后一次出现的位置
        int gridFirstPos = 0;//宫循环时，用于标识k出现的第1次位置
        int gridSecondPos = 0;//宫循环时，用于标识k出现的第2次位置
        for(int k=1;k<9;k++){
            for(int x=0;x<9;x++){//行列宫循环次数
                rowCount=0;
                colCount=0;
                gridCount=0;

                rowPos = 0;
                colPos=0;
                gridPos =0;
                for(int index=0;index<9;index++){
                    //行，k统计
                    if(matrix[x][index]==0&&candidature[x][index].contains(""+k)){
                        rowCount++;
                        rowPos = index;//记录k在最后一次出现的位置
                    }
                    //列，k统计
                    if(matrix[index][x]==0&&candidature[index][x].contains(""+k)){
                        colCount++;
                        colPos = index;//记录k在最后一次出现的位置
                    }
                    //宫，k统计
                    if(matrix[x/3*3+index/3][x%3*3+index%3]==0&&candidature[x/3*3+index/3][x%3*3+index%3].contains(""+k)){
                        gridCount++;
                        gridPos = index;//记录k在最后一次出现的位置
                        if(gridCount==1){//k第一次出现的位置
                            gridFirstPos = index;
                        }
                        if(gridCount==2) gridSecondPos=index;
                    }
                }
                if(matrix[x][rowPos]==0&&rowCount==1){
                    //表示该格子只能填入k
                    matrix[x][rowPos]=k;
                    System.out.println(String.format("行摒除法必填项(%d,%d,%d)",x,rowPos,k));
                    if(deleteCandidature(x,rowPos,k)&&single())//删除等位格群上的候选数k
                        change = true;
                }
                if(matrix[colPos][x]==0&&colCount==1){
                    //表示该格子只能填入k
                    matrix[colPos][x]=k;
                    System.out.println(String.format("列摒除法必填项(%d,%d,%d)",colPos,x,k));
                    if(deleteCandidature(colPos,x,k)&&single())//删除等位格群上的候选数k
                        change = true;
                }
                if(matrix[x/3*3+gridPos/3][x%3*3+gridPos%3]==0&&gridCount==1){
                    //表示该格子只能填入k
                    matrix[x/3*3+gridPos/3][x%3*3+gridPos%3]=k;
                    System.out.println(String.format("宫摒除法必填项(%d,%d,%d)",x/3*3+gridPos/3,x%3*3+gridPos%3,k));
                    if(deleteCandidature(x/3*3+gridPos/3,x%3*3+gridPos%3,k)&&single())//删除等位格群上的候选数k
                        change = true;
                }
                //特殊条件：某一个数字在某一个宫中恰好只出现2次或3次，并且出现的位置恰好形成一条线（行或列），
                //则可以删除该线上的其它宫格中的这个数字
                //恰好只出现一次时，摒除法可以处理
                if(gridCount==2){
                    if(gridFirstPos/3==gridPos/3){//恰好同行，则删除同行上的数字k
                        int row = x/3*3+gridFirstPos/3;//行号
                        if(cutCandidature(row*9+x%3*3+gridFirstPos%3,row*9+x%3*3+gridPos%3,-1,""+k,1,1)){
                            if(single()) change =  true;
                            System.out.println(String.format(x+"宫中数字"+k+"恰好只出现在同行的两格：(%d,%d,"+
                                    candidature[row][x%3*3+gridFirstPos%3]+")(%d,%d,"+candidature[row][x%3*3+gridPos%3]+")"
                                    ,row,x%3*3+gridFirstPos%3,row,x%3*3+gridPos%3));
                        }
                    }else if(gridFirstPos%3==gridPos%3){//恰好同列，则删除同列上的其他数字k
                        int col = x%3*3+gridFirstPos%3;//列号
                        if(cutCandidature((x/3*3+gridFirstPos/3)*9+col,(x/3*3+gridPos/3)*9+col,-1,""+k,2,1)){
                            if(single()) change =  true;
                            System.out.println(String.format(x+"宫中数字"+k+"恰好只出现在同列的两格：(%d,%d,"+
                                    candidature[x/3*3+gridFirstPos/3][col]+")(%d,%d,"+candidature[x/3*3+gridPos/3][col]+
                                    ")",x/3*3+gridFirstPos/3,col,x/3*3+gridPos/3,col));
                        }
                    }
                }
                if(gridCount==3){//恰好出现3次
                    if(gridFirstPos/3==gridSecondPos/3 && gridFirstPos/3==gridPos/3){//恰好3个同行
                        int row = x/3*3+gridFirstPos/3;//行号
                        if(cutCandidature(row*9+x%3*3+gridFirstPos%3,row*9+x%3*3+gridSecondPos%3,row*9+x%3*3+gridPos%3,""+k,1,1)){
                            if(single()) change =  true;
                            System.out.println(String.format(x+"宫中数字"+k+"恰好只出现在同行的三格：(%d,%d,"+
                                    candidature[row][x%3*3+gridFirstPos%3]+")(%d,%d,"+
                                    candidature[row][x%3*3+gridSecondPos%3]+")(%d,%d,"+candidature[row][x%3*3+gridPos%3]+")",
                                    row,x%3*3+gridFirstPos%3,row,x%3*3+gridSecondPos%3,row,x%3*3+gridPos%3));
                        }
                    }else if(gridFirstPos%3==gridPos%3 && gridFirstPos%3==gridSecondPos%3){//恰好3个同列
                        int col = x%3*3+gridFirstPos%3;//列号
                        if(cutCandidature((x/3*3+gridFirstPos/3)*9+col,(x/3*3+gridSecondPos/3)*9+col,(x/3*3+gridPos/3)*9+col,""+k,2,1)){
                            if(single()) change =  true;
                            System.out.println(String.format(x+"宫中数字"+k+"恰好只出现在同列的三格：(%d,%d,"+
                                    candidature[x/3*3+gridFirstPos/3][col]+")(%d,%d,"+
                                    candidature[x/3*3+gridSecondPos/3][col]+")(%d,%d,"+candidature[x/3*3+gridPos/3][col]+")",
                                    x/3*3+gridFirstPos/3,col,x/3*3+gridSecondPos/3,col,x/3*3+gridPos/3,col));
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return change;//若没有删减候选数操作，返回false
    }
    //隐性三链数删减法：在某行，存在三个数字出现在相同的宫格内，在本行的其它宫格均不包含这三个数字，我们称这个数对是隐形三链数。
    //那么这三个宫格的候选数中的其它数字都可以排除。当隐形三链数出现在列，九宫格，处理方法是完全相同的。
    /*private boolean hiddenTriplesCut(){
        return false;//返回false表示没有删减
    }
    private boolean hiddenPairsCut(){
        return false;//返回false表示没有删减
    }*/
    //三链数删减法：找出某一列、某一行或某一个九宫格中的某三个宫格候选数中，相异的数字不超过3个的情形，
    //进而将这3个数字自其它宫格的候选数中删减掉的方法就叫做三链数删减法。
    private boolean nakedTriplesCut(){
        System.out.println("三链数删减法：");
        boolean change = false;
        for(int x=0;x<9;x++){
            //需要用3重循环遍历某行所有格子3个结合的情况
            for(int aPos =0;aPos<9-2;aPos++ ){//a循环到倒数第3个即可
                //行
                if(matrix[x][aPos]==0&&candidature[x][aPos].length()<=3){ 
                    for(int bPos=aPos+1;bPos<9-1;bPos++){//b循环到倒数第1个即可
                        if(matrix[x][bPos]==0&&candidature[x][bPos].length()<=3){ 
                            for(int cPos=bPos+1;cPos<9;cPos++){
                                if(matrix[x][cPos]==0&&candidature[x][cPos].length()<=3){ 
                                    String keys = unionSet(candidature[x][aPos],candidature[x][bPos],candidature[x][cPos]);
                                    if(keys.length()<=3){
                                        System.out.println(String.format(x+"行找到三链数:(%d,%d,"+candidature[x][aPos]+")(%d,%d,"+
                                                candidature[x][bPos]+")(%d,%d,"+candidature[x][cPos]+"):"+keys,
                                                x,aPos,x,bPos,x,cPos));
                                        if(cutCandidature(x*9+aPos,x*9+bPos,x*9+cPos,keys,1,1)&&single())
                                            change =  true;
                                    }
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
                //列
                if(matrix[aPos][x]==0&&candidature[aPos][x].length()<=3){ 
                    for(int bPos=aPos+1;bPos<9-1;bPos++){//b循环到倒数第2个即可
                        if(matrix[bPos][x]==0&&candidature[bPos][x].length()<=3){ 
                            for(int cPos=bPos+1;cPos<9;cPos++){
                                if(matrix[cPos][x]==0&&candidature[cPos][x].length()<=3){ 
                                    String keys = unionSet(candidature[aPos][x],candidature[bPos][x],candidature[cPos][x]);
                                    if(keys.length()<=3){
                                        System.out.println(String.format(x+"列找到三链数:(%d,%d,"+candidature[aPos][x]+")(%d,%d,"+
                                                candidature[bPos][x]+")(%d,%d,"+candidature[cPos][x]+"):"+keys,
                                                aPos,x,bPos,x,cPos,x));
                                        if(cutCandidature(aPos*9+x,bPos*9+x,cPos*9+x,keys,2,1)&& single())
                                            change = true;
                                    }
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
                //宫
                int iStart =x/3*3;
                int jStart = x%3*3;
                if(matrix[iStart+aPos/3][jStart+aPos%3]==0&&candidature[iStart+aPos/3][jStart+aPos%3].length()<=3){ 
                    for(int bPos=aPos+1;bPos<9-1;bPos++){//b循环到倒数第2个即可
                        if(matrix[iStart+bPos/3][jStart+bPos%3]==0&&candidature[iStart+bPos/3][jStart+bPos%3].length()<=3){ 
                            for(int cPos=bPos+1;cPos<9;cPos++){
                                if(matrix[iStart+cPos/3][jStart+cPos%3]==0&&candidature[iStart+cPos/3][jStart+cPos%3].length()<=3){ 
                                    String keys = unionSet(candidature[iStart+aPos/3][jStart+aPos%3],
                                            candidature[iStart+bPos/3][jStart+bPos%3],candidature[iStart+cPos/3][jStart+cPos%3]);
                                    if(keys.length()<=3){
                                        System.out.println(String.format(x+"宫找到三链数:(%d,%d,"+candidature[iStart+aPos/3][jStart+aPos%3]+")(%d,%d,"+
                                                candidature[iStart+bPos/3][jStart+bPos%3]+
                                                ")(%d,%d,"+candidature[iStart+cPos/3][jStart+cPos%3]+"):"+keys,
                                                iStart+aPos/3,jStart+aPos%3,iStart+bPos/3,jStart+bPos%3,iStart+cPos/3,jStart+cPos%3));
                                        if(cutCandidature((iStart+aPos/3)*9+jStart+aPos%3,(iStart+bPos/3)*9+jStart+bPos%3,
                                                (iStart+cPos/3)*9+jStart+cPos%3,keys,3,1)&&single()){
                                            change = true;
                                        }
                                    }
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return change;//返回false表示没有删减
    }
    //数对删减法,如果某宫中两个格子的候选数个数只有2个且都一样，则可以删除其他格子中的这两个候选数
    //数对删减法
    private boolean nakedPairsCut(){
        System.out.println("数对删减法：");
        boolean change =false;
        for(int x=0;x<9;x++){
            //需要双层循环两两组合
            for(int aPos=0;aPos<9-1;aPos++){//a循环到倒数第2个即可
                //行
                if(matrix[x][aPos]==0&&candidature[x][aPos].length()==2){ 
                    for(int bPos=aPos+1;bPos<9;bPos++){
                        if(matrix[x][bPos]==0&&candidature[x][bPos].length()==2){ 
                            String keys = unionSet(candidature[x][aPos],candidature[x][bPos],"");
                            if(keys.length()==2){
                                System.out.println(String.format(x+"行找到数对:(%d,%d,"+candidature[x][aPos]+")(%d,%d,"+
                                        candidature[x][bPos]+")):"+keys,
                                        x,aPos,x,bPos));
                                if(cutCandidature(x*9+aPos,x*9+bPos,-1,keys,1,1)&&single())
                                    change =  true;
                            }
                        }
                    }
                }
                //列
                if(matrix[aPos][x]==0&&candidature[aPos][x].length()==2){ 
                    for(int bPos=aPos+1;bPos<9;bPos++){
                        if(matrix[bPos][x]==0&&candidature[bPos][x].length()==2){ 
                            String keys = unionSet(candidature[aPos][x],candidature[bPos][x],"");
                            if(keys.length()==2){
                                System.out.println(String.format(x+"列找到数对:(%d,%d,"+candidature[aPos][x]+")(%d,%d,"+
                                        candidature[bPos][x]+")):"+keys,
                                        aPos,x,bPos,x));
                                if(cutCandidature(aPos*9+x,bPos*9+x,-1,keys,2,1)&&single())
                                    change = true;;
                            }
                        }
                    }
                }
                //宫
                int iStart =x/3*3;
                int jStart = x%3*3;
                if(matrix[iStart+aPos/3][jStart+aPos%3]==0&&candidature[iStart+aPos/3][jStart+aPos%3].length()==2){ 
                    for(int bPos=aPos+1;bPos<9;bPos++){
                        if(matrix[iStart+bPos/3][jStart+bPos%3]==0&&candidature[iStart+bPos/3][jStart+bPos%3].length()==2){ 
                            String keys = unionSet(candidature[iStart+aPos/3][jStart+aPos%3],
                                    candidature[iStart+bPos/3][jStart+bPos%3],"");
                            if(keys.length()==2){
                                System.out.println(String.format(x+"宫找到数对:(%d,%d,"+candidature[iStart+aPos/3][jStart+aPos%3]+")(%d,%d,"+
                                        candidature[iStart+bPos/3][jStart+bPos%3]+")):"+keys,
                                        iStart+aPos/3,jStart+aPos%3,iStart+bPos/3,jStart+bPos%3));
                                if(cutCandidature((iStart+aPos/3)*9+jStart+aPos%3,(iStart+bPos/3)*9+jStart+bPos%3,
                                        -1,keys,3,1)&&single())
                                    change =  true;
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return change;
    }

    /*//四链数删减法，尽管此法应用得不多，但在特殊情况下能找到必填项
    private boolean quadruplexes(){
        boolean change = false;

        return change;
    }*/
    /**
     * 删减某宫（行列）除某些格子(a、b、c)外的其他格子的候选数,或者删除某些格子中的某些候选数
     * @param a a的绝对位置，取值0~80
     * @param b a的绝对位置，取值0~80
     * @param c c的绝对位置，取值0~80或者-1，取-1时，表示数对删减法
     * @param keys 候选数
     * @param type 取值1、2、3，分别表示为 行删除、列删除、宫删除
     * @param method 取值1、2，分别表示为三链数（数对）删除法（删其他格子）、隐性三链数删除法（删自身格子）
     */
    private boolean cutCandidature(int a,int b,int c,String keys,int type,int method){
        boolean change = false;
        if(method==1){
            boolean f = false;//临时变量
            for(int index=0;index<9;index++){
                switch(type){
                case 1://行
                    f = matrix[a/9][index]==0&&index!=a%9&&index!=b%9;
                    if(c>=0) f = f&&index!=c%9;
                    if(f&&deleteKeysFromCandidature(a/9,index,keys)){
                        change = true;
                    }
                    break;
                case 2://列
                    f = matrix[index][a%9]==0&&index!=a/9&&index!=b/9;
                    if(c>=0) f = f&&index!=c/9;
                    if(f&&deleteKeysFromCandidature(index,a%9,keys)){
                        change = true;
                    }
                    break;
                case 3://宫
                    int absPos = (a/9/3*3+index/3)*9+a%9/3*3+index%3;
                    //[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3]
                    //计算绝对位置i*9+j
                    if(matrix[a/9/3*3+index/3][a%9/3*3+index%3]==0&&absPos!=a&&absPos!=b&&absPos!=c){
                        if(deleteKeysFromCandidature(a/9/3*3+index/3,a%9/3*3+index%3,keys))
                            change = true;
                    }
                    break;
                default:
                }
            }
        }else{

        }
        return change;
    }
    //取abc三个字符串的并集
    //取a,b,c字符串的并集
    private String unionSet(String a,String b,String c){
        if(a==null||b==null||c==null) return null;
        String d = a+b+c;
        char[] chars = d.toCharArray();
        Set set = new HashSet();
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for(int i=0;ilength;i++){
            if(set.add(chars[i])){
                sb.append(chars[i]);
            }
        }
        return sb.toString();
    }
    //从(i,j)候选数中删除指定的候选数keys
    private boolean deleteKeysFromCandidature(int i,int j,String keys){
        boolean change = false;
        for(int k=0;k<keys.length();k++){
            String key = keys.substring(k,k+1);
            if(matrix[i][j]==0&&candidature[i][j].contains(key)){
                System.out.println(String.format("从(%d,%d)"+candidature[i][j]+"中删除候选数->"+key,i,j));
                candidature[i][j] = candidature[i][j].replace(key,"");
                change = true;
            }
        }
        return change;
    }
    //万能解题法的“搜索+剪枝”,递归与回溯
    //从(i,j)位置开始搜索数独的解,i和j最大值为8
    private boolean execute(int i,int j){
        //寻找可填的位置（即空白格子），当前(i,j)可能为非空格，从当前位置当前行开始搜索
        outer://此处用于结束下面的双层循环,标记不赞成使用，但在此处很直观
        for(int x=i;x<9;x++){
            for(int y=0;y<9;y++){
                if(matrix[x][y]==0){
                    i=x;
                    j=y;
                    break outer;
                }
            }
        }
        //如果从当前位置并未搜索到一个可填的空白格子，意味着所有格子都已填写完了，所以找到了解
        if(matrix[i][j]!=0){
            count++;
            System.out.println("第"+count+"种解:");
            output();
            if(count==maxCount)
                return true;//return true 表示只找寻一种解，false表示找所有解
            else
                return false;
        }
        //试填k
        for(int k=1;k<=9;k++){
            if(!check(i,j,k)) continue;
            matrix[i][j] = k;//填充
            //System.out.println(String.format("(%d,%d,%d)",i,j,k));
            if(i==8&&j==8) {//填的正好是最后一个格子则输出解
                count++;
                System.out.println("第"+count+"种解:");
                output();
                if(count==maxCount)
                    return true;//return true 表示只找寻一种解，false表示找所有解
                else
                    return false;
            }
            //计算下一个元素坐标，如果当前元素为行尾，则下一个元素为下一行的第一个位置（未填数），
            //否则为当前行相对当前元素的下一位置
            int nextRow = (j<9-1)?i:i+1;
            int nextCol = (j<9-1)?j+1:0;
            if(execute(nextRow,nextCol)) return true;//此处递归寻解，若未找到解，则返回此处,执行下面一条复位语句
            //递归未找到解，表示当前(i,j)填k不成功，则继续往下执行复位操作，试填下一个数
            matrix[i][j] = 0;
        }
        //1~9都试了
        return false;
    }
    //反复应用唯一（余）法检查每个格子的候选数的个数是否为1以及应用摒除法找寻必填数字
    //直到候选数不在发生变化（即没有候选数删减操作）
    //最后才用递归寻解
    public void execute(){
        boolean flag = true;
        while(flag){
            boolean f1 = single();//唯一（余）法，最基础的方法、应用其他方法发生了删减候选数时都要应用此方法
            boolean f2 = exclude();//摒除法，优先级比唯一（余）法低一点点，也是最基础的方法
            boolean f3 = nakedPairsCut();//数对删减法
            flag = f1||f2||f3;

            if(!flag){
                boolean f4 = nakedTriplesCut();//三链数删减法
                flag = f4;
            }
            //再应用一次基础方法，确保万无一失
            if(!flag){
                f1 = single();
                f2 = exclude();
                flag = f1||f2;
            }
        }
        //outputCandidature();
        System.out.println("人工方式求解：");
        output();
        //递归求解
        execute(0,0);//从第一个位置开始递归寻解
    }
    //数独规则约束，行列宫唯一性,检查(i,j)位置是否可以填k
    private boolean check(int i,int j,int k){
        //行列约束,宫约束，对应宫的范围 起始值为(i/3*3,j/3*3),即宫的起始位置行列坐标只能取0,3,6
        for(int index=0;index<9;index++){
            if(matrix[i][index]==k) return false;
            if(matrix[index][j]==k) return false;
            if(matrix[i/3*3+index/3][j/3*3+index%3]==k) return false; 
        }
        return true;
    }

    public void output(){
        for(int i=0;i<9;i++){
            for(int j=0;j<9;j++)
            {
                if(j%3==0) System.out.print(" ");
                System.out.print(matrix[i][j]);
            }
            System.out.println();
            if(i%3==2)
                System.out.println("-------------");
        }
    }
    public void outputCandidature(){
        for(int i=0;i<9;i++){
            for(int j=0;j<9;j++){
                if(matrix[i][j]==0){
                    System.out.println(String.format("候选数(%d,%d)->"+candidature[i][j],i,j));
                }
            }
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        try {
            Sudoku sudoku = new Sudoku("000000000000001002034000050000000340000006070100000000000040000080370000200500008",1);
            //Sudoku sudoku = new Sudoku("000000000000001002034000050000000030000026000005000470000700000100400000680000001",1);
            //Sudoku sudoku = new Sudoku("123456789456789123789123456234567891567891234891234567345000000000000000000000000",20);
            //Sudoku sudoku = new Sudoku("000000000000001023004560000000000000007080400010002500000600000020000010300040000",1);
            Date begin = new Date();
            sudoku.execute();
            System.out.println("执行时间"+(new Date().getTime()-begin.getTime())+"ms");
            if(sudoku.getCount()==0) System.out.println("未找到解");
        } catch (Exception e) {
            e.printStackTrace();
        }
    }
}

以下是对一个标准17数独（单解）的执行结果。
（000000000000000012003045000000000036000000400570008000000100000000900020706000500）：

 000 000 000
 000 000 012
 003 045 000
-------------
 000 000 036
 000 000 400
 570 008 000
-------------
 000 100 000
 000 900 020
 706 000 500
-------------
唯一(余)法必填项(5,7,9)
唯一(余)法必填项(5,8,1)
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(5,6,2)
摒除法：
从(0,0)124689中删除候选数->1
从(0,1)1245689中删除候选数->1
从(0,2)1245789中删除候选数->1
列摒除法必填项(7,6,1)
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(5,2,4)
行摒除法必填项(8,1,1)
唯一法或唯余法:
从(6,4)235678中删除候选数->2
从(6,5)23467中删除候选数->2
从(4,3)23567中删除候选数->3
从(4,4)1235679中删除候选数->3
从(4,5)123679中删除候选数->3
从(0,0)24689中删除候选数->4
从(0,1)245689中删除候选数->4
从(0,1)25689中删除候选数->5
从(0,2)25789中删除候选数->5
从(4,3)2567中删除候选数->5
从(4,4)125679中删除候选数->5
从(3,4)12579中删除候选数->5
从(4,3)267中删除候选数->6
从(4,4)12679中删除候选数->6
从(4,5)12679中删除候选数->6
从(6,4)35678中删除候选数->6
从(6,5)3467中删除候选数->6
数对删减法：
4宫找到数对:(5,3,36)(5,4,36)):36
5行找到数对:(5,3,36)(5,4,36)):36
三链数删减法：
5宫找到三链数:(3,6,78)(4,7,578)(4,8,578):785
唯一法或唯余法:
摒除法：
宫摒除法必填项(2,0,1)
唯一法或唯余法:
行摒除法必填项(3,3,5)
数对删减法：
4宫找到数对:(5,3,36)(5,4,36)):36
5行找到数对:(5,3,36)(5,4,36)):36
三链数删减法：
5宫找到三链数:(3,6,78)(4,7,578)(4,8,578):785
唯一法或唯余法:
摒除法：
行摒除法必填项(3,5,4)
唯一法或唯余法:
列摒除法必填项(8,3,4)
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(8,7,8)
从(0,4)1236789中删除候选数->8
从(1,4)36789中删除候选数->8
唯一法或唯余法:
摒除法：
数对删减法：
4宫找到数对:(5,3,36)(5,4,36)):36
5行找到数对:(5,3,36)(5,4,36)):36
7宫找到数对:(8,4,23)(8,5,23)):23
从(6,4)3578中删除候选数->3
从(6,5)37中删除候选数->3
从(7,4)35678中删除候选数->3
从(7,5)367中删除候选数->3
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(6,5,7)
唯一(余)法必填项(7,5,6)
8行找到数对:(8,4,23)(8,5,23)):23
从(8,8)39中删除候选数->3
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(8,8,9)
三链数删减法：
5宫找到三链数:(3,6,78)(4,7,57)(4,8,578):785
6行找到三链数:(6,6,36)(6,7,46)(6,8,34):364
从(6,0)23489中删除候选数->3
从(6,0)2489中删除候选数->4
从(6,1)234589中删除候选数->3
从(6,1)24589中删除候选数->4
唯一法或唯余法:
8宫找到三链数:(6,6,36)(6,7,46)(6,8,34):364
从(7,8)347中删除候选数->3
从(7,8)47中删除候选数->4
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(7,8,7)
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(2,8,8)
唯一(余)法必填项(4,8,5)
摒除法：
行摒除法必填项(0,7,5)
宫摒除法必填项(3,6,8)
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(4,7,7)
数对删减法：
3行找到数对:(3,0,29)(3,1,29)):29
从(3,2)129中删除候选数->2
从(3,2)19中删除候选数->9
从(3,4)1279中删除候选数->2
从(3,4)179中删除候选数->9
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(2,7,6)
唯一(余)法必填项(3,2,1)
唯一(余)法必填项(3,4,7)
唯一(余)法必填项(4,3,2)
唯一(余)法必填项(6,7,4)
唯一(余)法必填项(6,8,3)
3宫找到数对:(3,0,29)(3,1,29)):29
从(4,0)3689中删除候选数->9
从(4,1)3689中删除候选数->9
从(4,2)89中删除候选数->9
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(0,8,4)
唯一(余)法必填项(2,3,7)
唯一(余)法必填项(2,6,9)
唯一(余)法必填项(4,2,8)
唯一(余)法必填项(6,6,6)
唯一(余)法必填项(7,2,5)
唯一(余)法必填项(7,4,8)
3宫找到数对:(4,0,36)(4,1,36)):36
4行找到数对:(4,0,36)(4,1,36)):36
4行找到数对:(4,4,19)(4,5,19)):19
4宫找到数对:(4,4,19)(4,5,19)):19
4宫找到数对:(5,3,36)(5,4,36)):36
5行找到数对:(5,3,36)(5,4,36)):36
6列找到数对:(0,6,37)(1,6,37)):37
6宫找到数对:(7,0,34)(7,1,34)):34
7行找到数对:(7,0,34)(7,1,34)):34
7宫找到数对:(8,4,23)(8,5,23)):23
8行找到数对:(8,4,23)(8,5,23)):23
三链数删减法：
0宫找到三链数:(0,2,279)(1,2,79)(2,1,2):279
从(0,0)2689中删除候选数->2
从(0,0)689中删除候选数->9
从(0,1)2689中删除候选数->2
从(0,1)689中删除候选数->9
从(1,0)4689中删除候选数->9
从(1,1)45689中删除候选数->9
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(2,1,2)
唯一(余)法必填项(3,1,9)
唯一(余)法必填项(6,1,8)
唯一(余)法必填项(6,4,5)
1列找到三链数:(0,1,6)(4,1,36)(7,1,34):634
从(1,1)456中删除候选数->6
从(1,1)45中删除候选数->4
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(0,1,6)
唯一(余)法必填项(1,1,5)
唯一(余)法必填项(3,0,2)
唯一(余)法必填项(4,1,3)
唯一(余)法必填项(6,0,9)
唯一(余)法必填项(6,2,2)
唯一(余)法必填项(7,1,4)
1行找到三链数:(1,2,79)(1,5,39)(1,6,37):793
从(1,3)368中删除候选数->3
从(1,4)369中删除候选数->9
从(1,4)36中删除候选数->3
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(0,0,8)
唯一(余)法必填项(0,3,3)
唯一(余)法必填项(0,6,7)
唯一(余)法必填项(1,0,4)
唯一(余)法必填项(1,4,6)
唯一(余)法必填项(1,5,9)
唯一(余)法必填项(1,6,3)
唯一(余)法必填项(4,0,6)
唯一(余)法必填项(4,5,1)
唯一(余)法必填项(5,3,6)
唯一(余)法必填项(5,4,3)
唯一(余)法必填项(7,0,3)
唯一(余)法必填项(8,4,2)
唯一(余)法必填项(8,5,3)
唯一法或唯余法:
唯一(余)法必填项(0,2,9)
唯一(余)法必填项(0,4,1)
唯一(余)法必填项(0,5,2)
唯一(余)法必填项(1,2,7)
唯一(余)法必填项(1,3,8)
唯一(余)法必填项(4,4,9)
摒除法：
数对删减法：
三链数删减法：
唯一法或唯余法:
摒除法：
人工方式求解：
 869 312 754
 457 869 312
 123 745 968
-------------
 291 574 836
 638 291 475
 574 638 291
-------------
 982 157 643
 345 986 127
 716 423 589
-------------
第1种解:
 869 312 754
 457 869 312
 123 745 968
-------------
 291 574 836
 638 291 475
 574 638 291
-------------
 982 157 643
 345 986 127
 716 423 589
-------------
执行时间96ms

从上面示例可以看出，应用候选数删减法（人工）完全把一个标准17数独解出来了，没有用到递归。
即便候选数删减法（人工）只找出了部分的必填项，但也会大大减少了递归执行的时间。