2017.3.11 NOIP2017赛前模拟考试总结

这次考试三道题 ,T1比较简单,T2的80分的部分分还是比较好拿,T3的30分部分分较为容易,结果考炸,归根到底还是自己的代码能力较弱,第一题都写炸了,第二题的结论推了一半,第三题的BFS水。

T1 染色问题
题意:给定一个方阵,不断改变一列或一行的颜色,输出最后的结果。
正解:记录每次操作的时间,最后输出时只输出时间在后的结果。

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using namespace std;
int n,m,q,k,x,d,rec1[100010],rec2[100010],lac1[100010],lac2[100010];
//-------------------
inline int in()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
//-------------------
int main()
{
    //freopen("matrix.in","r",stdin);
    //freopen("matrix.out","w",stdout);

    n=in(),m=in(),q=in();
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        k=in(),x=in(),d=in();
        if(k==1) rec1[x]=d,lac1[x]=i;
        else rec2[x]=d,lac2[x]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      for(int j=1;j<=m;j++)
        if(lac1[i]>lac2[j]) 
          printf("%d ",rec1[i]);
        else printf("%d ",rec2[j]);
      printf("\n");
    }
    return 0;
}

T2 题意:每次可以向左,上,右的某一个方向走,走N步,上一步向左走,下一步就不能往右,上一步往右,下一步就不能往左走。读入N,输出路径数。

正解:
其实就是一道简单的组合问题 ,数列的递推关系为 a[n+1]=2*a[n]+a[n-1];
证明: 设a状态为当前向左或向右走,b状态为当前向上走;
则有:a[n+1]=a[n]+2*b[n] , b[n+1]=a[n]+b[n];
都到a和b的递推时都为a[n+1]=2*a[n]+a[n-1];

当然考试的时候也可通过举例子来找规律,除此以外,由于数据范围为10^12,所以简单的加法是不能过完所有的数据的。这里需要用到矩阵乘法快速幂来对DP进行优化。 (不懂矩阵乘法和快速幂的同学可先查询资料)

struct Matrix //定义一个矩阵
{
    long long a[3][3];
    inline void I() //一个单位矩阵,类似于快速幂里面的 ans=1
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=2;i++)
          a[i][i]=1;
    }
    inline Matrix operator * (const Matrix &b) //重载矩阵乘法
    {
        Matrix c;
        for(int i=1;i<=2;i++)
          for(int j=1;j<=2;j++)
          {
              long long sum=0;
              for(int k=1;k<=2;k++)
              sum=(a[i][k]*b.a[k][j]+sum)%mod;
              c.a[i][j]=sum;
          }
       return c;
    }
    inline Matrix operator ^ (int x) //矩阵快速幂,与快速幂相似
    {
        Matrix res,tmp=*this;
        res.I();
        for(;x>0;x>>=1,tmp=tmp*tmp)
            if(x&1)res=res*tmp;
        return res;
    }
}A,B;
int main()
{
    //freopen("coordinate.in","r",stdin);
    int n;
    scanf("%d",&n);
    A.a[2][1]=A.a[2][2]=B.a[1][1]=0; 
    // 因为本题结论为 a[n+2]=2*a[n+1]+a[n]
    A.a[1][1]=A.a[1][2]=B.a[1][2]=B.a[2][1]=1;
    B.a[2][2]=2;
    A=A*(B^(n));
    cout<1][2]%mod<<'\n';
    return 0;
}

T3 题意:给一个N个点,M条边的图,问从节点1到节点N的某一条路径使得 边权/点数 的值最小。这是一道很典型的01分数规划的题。由于之前没有学过,考试的时候就比较尴尬。
01分数规划的最优答案一般都是用二分法来枚举,然后用spfa去验证

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using namespace std;
const int N=210;
const int M=2100;
const double INF=1e20;
const double eps=1e-4;
int cnt=0,n,m,head[N]; double dis[N]; bool vis[N];
queue<int> q;
//-------------------
struct node
{
    int v,next;
    double w,x;
}e[M];
//-------------------
inline int Readint()
{ 
    int i=0,f=1;
    char ch;
    for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9') && ch!='-';ch=getchar());
    if(ch=='-') f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())
    i=(i<<1)+(i<<3)+ch-'0';
    return i*f;
}
//-------------------
void create(int u,int v,double w)
{
    e[++cnt].v=v; e[cnt].x=w;
    e[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt;
}
//-------------------

bool Spfa(double x) //验证答案的正确性
{
    for(int i=1;i<=cnt;i++) e[i].w=e[i].x-x;
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF;
    dis[0]=0; q.push(0); vis[0]=true;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front(); q.pop(); vis[u]=false;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
            if(dis[u]+e[i].wif(!vis[e[i].v]) q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=true;
            }
    }
    return dis[n]<-eps;
}
//-------------------
int main()
{
    //freopen("calabash.in","r",stdin);

    int x,y,z;
    n=Readint(),m=Readint();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        x=Readint(),y=Readint(),z=Readint();
        create(x,y,z);
    }
    create(0,1,0);
    double l=0,r=1e3;
    while(r-l>=eps)
    {
        double mid=(l+r)/2.0;
        if(Spfa(mid)) r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.3f\n",l);
    return 0;
}

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