KMP算法总结和例题（来自kuangbin套题）
一、KMP算法介绍：
对于两个字符串，如果我们需要在一个串中找到另一个串的出现数量，有两种方法：
在待匹配串中设置指针i，每匹配完一次模式串则往后移一位，该算法的时间复杂度是O（n*m），空间复杂度O（n+m）。
对于这种方法，我们注意到，很多需要匹配的操作实际上是不必要的，比如模式串abcde，待匹配串abcdeabcde，当匹配完b之后移动到匹配c，是完全没有必要的。
因此，为了避免这种情况，KMP算法应运而生。KMP算法对于一个字符串匹配的时间复杂度是O（n+m），空间复杂度是O（n+m）。
以下是KMP算法的实现过程：
KMP算法是通过对模式串预处理，找出失配之后模式串的匹配指针移动的位置，来减少无意义的匹配。这个预处理产生的数组被称为next数组，也称fail数组（理解fail数组的机制就可以对AC自动机的fail指针有更为深刻的理解），以下统一称为fail数组。
fail[i]的意义：
设字符串的字符序号从1开始计数，i是字符串的前i个字符的前缀和后缀的最长相同字符（前后缀均不包括它本身）。
fail数组的求法：
fail数组通过fail[i-1]的信息求解fail[i]，利用模式串自己和自己匹配，求得fail数组。fail[0]表示空字符串的前缀和后缀的相同字符长度，显然没有意义，设为-1。设置指针j和k，j=-1，k=0。j为匹配字符位置指针，k为待匹配字符位置指针。然后，如果fail[i-1]=-1，就意味着k的位置为字符串的第一个字符位置，此时得到fail[i]=0；如果fail[i-1]>-1，即表明k的位置大于字符串的第一个字符位置，此时分两种情况：
一、如果两个指针对应的字符相等，则都可以向右移动一位，同时fail[i]=fail[i-1]+1；（若一直都匹配成功，fail[i-1]=j，然后++j）
二、如果两个指针对应的字符不相等，则j就要回溯，回溯到哪里呢，这时就要使用fail已经求出的信息了。假设在这之前均匹配成功，由fail数组的定义，字符串中0~fail[i]-1和i-fail[i]~i-1相等，且fail[i]和i所指的位置一定不相等，所以就要找到可能的更短的前缀与其匹配或者不匹配。此时，通过j=fail[j]回溯找到更短的匹配。为什么可以这么做呢？我们知道字符串中0~fail[i]-1和i-fail[i]~i-1相等，且此时fail[i]=j，当j回溯到fail[j]时，0~j-1子串仍与回溯前的子串的长度为j的后缀串相同，因此相当于是将待匹配串和模式串（其实都是模式串在自己和自己匹配）的已知的最大相同长度部分对齐，然后再进行匹配。
fail数组求解代码：
注：源码是命名为next数组，C++中next是一个已经被使用的名称，故不能使用next作为数组名。
void getnext(string &str)
{
memset(nextarray, 0, sizeof(nextarray));
int j = -1, k = 0;
nextarray[0] = -1;
while (k < str.size())
{
if (j == -1 || str[j] == str[k])
nextarray[++k] = ++j;
else
j = nextarray[j];
}
}KMP算法判断模式串是否出现在待匹配串中：
使用已经求得的fail数组对待匹配串求解，设置指针i为待匹配串中的字符位置，指针j为模式串中的字符位置，如果两个位置的字符相等，则指针均向后移一位，如果不相等，我们已经知道了j个字符相等，j=fail[j]就是相当于将模式串0~fail[j]子串和待匹配串以最大相同长度对齐，然后再继续匹配。
匹配代码：
bool kmp(string &a, string &b)
{
int i = 0, j = 0, ans = 0;
while (i < a.size())
{
if (j == -1 || a[i] == b[j])
++i, ++j;
else
j = nextarray[j];
if (j == b.size())
++ans, j = nextarray[j];
}
if (ans)
return true;
return false;
}
//返回ans即为出现次数一些小技巧：
（待补充）
二、例题：
1、HDU1686 https://vjudge.net/problem/HDU-1686
详见：https://blog.csdn.net/Aya_Uchida/article/details/88536050
2、HDU2087 https://vjudge.net/problem/HDU-2087
题意：求不重叠子串个数。
题解：水题，直接套匹配模即可，但是j==b.size()里面的j=nextarray[j]改成j=0。
AC代码：
#include
#include
#include
using namespace std;
int nextarray[1005];
void getnext(string &str)
{
memset(nextarray, 0, sizeof(nextarray));
int j = -1, k = 0;
nextarray[0] = -1;
while (k < str.size())
{
if (j == -1 || str[j] == str[k])
nextarray[++k] = ++j;
else
j = nextarray[j];
}
}
int count(string &a, string &b)
{
int i = 0, j = 0, ans = 0;
while (i < a.size())
{
if (j == -1 || a[i] == b[j])
++i, ++j;
else
j = nextarray[j];
if (j == b.size())
++ans, j = 0;
}
return ans;
}
int main()
{
string a, b;
while (cin >> a && a != "#")
{
cin >> b;
getnext(b);
cout << count(a, b) << endl;
}
return 0;
} 3、HDU3746 https://vjudge.net/problem/HDU-3746
题意：给你一个字符串，请问在该字符串末尾最少添加多少个字符，可以让这个字符串获得重复循环序列。
题解：fail数组的应用，对于一个字符串，设其长度是len，若fail[len]=0，则表明整个字符串不存在部分重复，直接输出原长，如果len%(len-fail[len])=0，即字符串本身就循环，len-fail[len]是最小周期，输出0，其他的，输出len-fail[len]-len%(len-fail[len])。即需要补充以达到字符串的最小完整周期的长度。
AC代码：
#include
#include
#include
using namespace std;
int nextarray[100005];
void getnext(string &str)
{
memset(nextarray, 0, sizeof(nextarray));
int j = -1, k = 0;
nextarray[0] = -1;
while (k < str.size())
{
if (j == -1 || str[j] == str[k])
nextarray[++k] = ++j;
else
j = nextarray[j];
}
}
void solve(string &str)
{
getnext(str);
int cir = str.size() - nextarray[str.size()];
if (nextarray[str.size()] == 0)
cout << str.size() << endl;
else if (str.size() % cir == 0)
cout << 0 << endl;
else
cout << cir - str.size() % cir << endl;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
string a;
while (n--)
{
cin >> a;
solve(a);
}
return 0;
} 4、HDU1358 https://vjudge.net/problem/HDU-1358
题意：给出一个字符串，输出其所有循环节大于1的循环子串的串长度和循环节数量。
题解：求出fail数组之后遍历计算即可。
AC代码：
#include
#include
#include
using namespace std;
int nextarray[1000005];
void getnext(string &str)
{
memset(nextarray, 0, sizeof(nextarray));
int j = -1, k = 0;
nextarray[0] = -1;
while (k < str.size())
{
if (j == -1 || str[j] == str[k])
nextarray[++k] = ++j;
else
j = nextarray[j];
}
}
void solve(string &str, int kase)
{
cout << "Test case #" << kase << endl;
for (int i = 2; i <= str.size(); ++i)
{
if (nextarray[i] && i % (i - nextarray[i]) == 0)
cout << i << " " << i / (i - nextarray[i]) << endl;
}
cout << endl;
}
int main()
{
string a;
int n, kase = 0;
while (cin >> n && n)
{
cin >> a;
getnext(a);
solve(a, ++kase);
}
return 0;
} 5、POJ 2752 https://vjudge.net/problem/POJ-2752
详见：https://blog.csdn.net/Aya_Uchida/article/details/88559426
6、UVA 455 https://vjudge.net/problem/UVA-455
详见：https://blog.csdn.net/Aya_Uchida/article/details/88372228
7、洛谷P3435 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3435
详见：https://blog.csdn.net/Aya_Uchida/article/details/89187496