三大抽样分布

三大抽样分布一般是指卡方分布(\chi ^{2}分布)、t 分布和 F 分布,是来自正态总体的三个常用的分布。(抽样分布就是统计量的分布,其特点是不包含未知参数且尽可能多的概括了样本信息。)我们常说的卡方检验、t检验和F检验就跟这三个分布有关。

1、\chi ^{2}分布

1.1 \chi ^{2}分布定义

三大抽样分布_第1张图片

设随机变量 X 是自由度为 n 的 \chi ^{2} 随机变量, 则其概率密度函数为

三大抽样分布_第2张图片(其中\Gamma(\cdot )表示的是一个gamma函数)

1.2 \chi ^{2}分布的图像

卡方分布的概率密度曲线如下(自由度为20):

三大抽样分布_第3张图片

不同参数的卡方分布:

三大抽样分布_第4张图片

1.3 \chi ^{2}分布的性质

三大抽样分布_第5张图片

2.  t 分布

  • 说起t分布,首先要提一句u分布,正态分布(normal distribution)是许多统计方法的理论基础。正态分布的两个参数μ和σ决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便,常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u,以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0,σ=1的标准正态分布(standard normaldistribution),亦称u分布。根据中心极限定理,通过抽样模拟试验表明,在正态分布总体中以固定 n 抽取若干个样本时,样本均数的分布仍服从正态分布,即N(μ,σ)。所以,对样本均数的分布进行u变换,也可变换为标准正态分布N (0,1)。
  • 由于在实际工作中,往往σ(总体方差)是未知的,常用s(样本方差)作为σ的估计值,为了与u变换区别,称为t变换,统计量t 值的分布称为t分布。
     

2.1 t 分布定义

三大抽样分布_第6张图片

设随机变量 T ∼ t_{n}, 则其密度函数为

 三大抽样分布_第7张图片

2.2 t 分布图像

t 分布的概率密度曲线如下(自由度为20):

三大抽样分布_第8张图片

不同参数的 t 分布:

三大抽样分布_第9张图片

2.3 t 分布的性质

三大抽样分布_第10张图片

3.  F 分布

3.1  F 分布定义

三大抽样分布_第11张图片

若随机变量 Z ∼F_{m,n}, 则其密度函数为 

三大抽样分布_第12张图片

3.2  F 分布的图像

F 分布的概率密度曲线如下(自由度为20):

三大抽样分布_第13张图片

不同参数的 F 分布:

三大抽样分布_第14张图片

3.3  F 分布的性质

三大抽样分布_第15张图片

 

 

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