机器学习笔记：贝叶斯算法(一)

有关贝叶斯定理和贝叶斯公式的推导过程，在阮一峰大神的博客里的《贝叶斯推断及其互联网应用（一）：定理简介》写得非常全面，简洁明了。

下面是我的个人笔记总结：

贝叶斯定理

基于假设的先验概率，给定假设下观察到的不同数据的概率，提供了一种计算后验概率的方法。
先验概率：由以往的数据分析得到的概率。
后验概率：得到信息之后再重新加以修正的概率。

在人工智能领域是非常有代表性的不确定性知识表示和推理方法。

条件概率

P(A|B) 表示事件B发生的前提下，事件A发生的概率，叫做事件B发生下事件A的条件概率。

P(A|B)=P(AB)/P(B)

贝叶斯公式

P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A)

P(B|A) 是根据A参数值去判断其属于类别B的概率，是后验概率。 P(B) 是直接判断某个样本属于B的概率，是先验概率。 P(A|B) 是在类别B中观察到A的概率， P(A) 是在样本中观测到A的概率。

朴素贝叶斯算法-原理

基本思想

对于给定的待分类项 X{a1,a2,a3,...,an} ,求解此项出现的条件下，各个类别 yi 出现的概率，哪个 P(yi|X) 最大，就把此分类项 X 分为那个类别。

算法定义

1. 设 X{a1,a2,a3,...,an} 为一个待分类项，每个 ai 为X的一个特征属性，特征属性之间互相独立。
2. 设 C{y1,y2,y3,...,yn} 为一个类别集合。
3. 计算 P(y1|X),P(y2|X),P(y3|X),...,P(yn|X)
4. P(yk|X)=max{P(y1|X),P(y2|X),P(y3|X),...,P(yn|X)},则X∈yk

求 P(yk|X) 的步骤

1. 找到一个已知分类的待分类项集合，这个集合叫训练样本集。
2. 得到各个类别下，各个特征属性的条件概率，即
   
   P(a1|y1),P(a2|y1),P(a3|y1),...,P(an|y1),P(a1|y2),P(a2|y2),P(a3|y2),...,P(an|y2),P(a1|y3),P(a2|y3),P(a3|y3),...,P(an|y3),⋮,⋮,⋮,...,⋮,P(a1|yn),P(a2|yn),P(a3|yn),...,P(an|yn),
3. 在贝叶斯公式中分母相当于在样本数据中 X 的概率，所以对任何一个待分类项来说 P(X) 是常数，固定的。求后验概率 P(yi)|X 只需要考虑分子即可。因为个特征属性独立，所以有：
   
   P(X|yi)P(yi)=P(a1|yi)P(a2|yi)P(a3|yi)...P(an|yi)P(yi)=P(yi)∏j=1nP(aj|yi)
   
   所以：
   
   P(X|yi)=∏k=1nP(ak|yi)

处理流程

简单实例

数据样本：

age	income	student	credit_rating	buys_computer
<=30	high	no	fair	no
<=30	high	no	excellent	no
31..40	high	no	fair	yes
>40	medium	no	fair	yes
>40	low	yes	fair	yes
>40	low	yes	excellent	no
31..40	low	yes	excellent	yes
<=30	medium	no	fair	no
<=30	low	yes	fair	yes
>40	medium	yes	fair	yes
<=30	medium	yes	excellent	yes
31..40	medium	no	excellent	yes
31..40	high	yes	fair	yes
>40	medium	no	excellent	no

待分类数据：
X=(age<=30,income=medium,student=yes,credit_rating=fair)

第一阶段：准备阶段

根据具体情况确定特征属性，并且对特征属性进行适当划分。然后就是对一部分待分类项进行人工划分，以确定训练样本。这一阶段输入的是所有待分类项，输出的是特征属性和训练样本。所以：
**数据样本属性：**age、income 、student 、 credit_rating
**类别属性：**buys_computer
y1 :buys_computer=”yes”
y2 :buys_computer=”no”

第二阶段：分类器训练阶段

计算每个类别在训练样本中出现的频率，以及每个特征属性划分对每个类别的条件概率。输入时特征属性和训练样本，输出是分类器。
计算每个类别的先验概率：
P(y1) =9/14=0.643
P(y2) =5/14=0.357

计算每个特征属性对于每个类别的条件概率：
P(age<=”30”|buys_computer=”yes”)=2/9=0.222
P(income=”medium”|buys_computer=”yes”)=4/9=0.444
P(student=”yes”|buys_computer=”yes”)=6/9=0.667
P(credit_rating=”fair”|buys_computer=”yes”)=6/9=0.667

P(age<=”30”|buys_computer=”no”)=3/5=0.600
P(income=”medium”|buys_computer=”no”)=4/9=0.400
P(student=”yes”|buys_computer=”no”)=1/5=0.200
P(credit_rating=”fair”|buys_computer=”no”)=2/5=0.400

计算条件概率 P(X|yi)
P(X|buyscomputer="yes") =0.222*0.444*0.667*0.667=0.044
P(X|buyscomputer="no") =0.600*0.400*0.200*0.400=0.019

第三阶段：应用阶段

计算对于每个 yi 的 P(X|yi)P(yi)
P(X|buys_computer="yes")P(buys_computer="yes") =0.444*0.643=0.028
P(X|buys_computer="no")P(buys_computer="no") =0.019*0.357=0.007

到此，对于待分类的样本X,朴素贝叶斯分类预测buys_computer=”yes”

总结：

朴素贝叶斯算法的优点：
1. 算法逻辑简单，易于实现
2. 分类过程中时空开销小
3. 算法稳定，对于不同的数据特点其分类性能差别不大，健壮性比较好。