最短编辑距离（Edit Distance）【DP】

概念

编辑距离（最短编辑距离，Edit Distance）又称Levenshtein
Distance，“是指两个字符串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。一般来说，编辑距离越小，两个串的相似度越大。”
——引用自百度

分析

• 假设用f[i][j]表示将串a[1…i]转换为串b[1…j]所需的最少操作次数（最短距离）

• 首先是边界：
  ①i==0时，即a为空，那么对应的f[0][j]的值就为j：增加j个字符，使a转化为b
  ②j==0时，即b为空，那么对应的f[i][0]的值就为i：减少i个字符，使a转化为b

• 然后考虑一般情况（这里是DP思想）：我们要得到将a[1..i]经过最少次数的操作就转化为b[1..j]，那么我们就必须在此之前以最少次数（假设为k次）的操作,使现在的a和b只需再做一次操作或者不做操作就可以使a[1..i]转化到b[1..j]。而“之前”有三种情况：
  ①将a[1…i]转化为b[1…j-1]
  ②将a[1..i-1]转化为b[1..j]
  ③将a[1…i-1]转化为b[1…j-1]

  第①种情况，只需要在最后将a[j]加上b[1..i]就可以了，总共就需要k+1次操作。
  第②种情况，只需要在最后将a[i]删除，总共需要k+1个操作。
  第③种情况，只需要在最后将a[i]替换为b[j]，总共需要k+1个操作。但如果a[i]刚好等于b[j]，就不用再替换了，那就只需要k个操作。

• 为了得到最小值，将以上三种情况的最小值作为f[i][j]的值（我前面不是说了f[i][j]表示串a[1…i]转换为串b[1…j]所需的最少操作次数嘛）,最后答案在f[n][m]中。
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实现（只描述算法部分）

1. 初始化。边界情况，用循环嵌套或两个独立的循环都可以做到。
   
   2.循环嵌套遍历f数组，先处理a[i]==b[j]的情况，如不满足，再从三种情况中选择最小的，作为f[i][j]的值。三种情况中，①如果在k个操作里将a[1…i-1]转换为b[1..j]，那就可以将a[i]删除，共需k+1个操作，所以是f[i-1][j]+1;②如果在k个操作里将a[1…i]转换为b[1…j-1] ，那就可以加上b[j]，共需k+1个操作；③如果我们可以在k个操作里将a[1…i-1]转换为b[1…j-1]，那就可以将a[i]转换为b[j]，也是共需k+1个操作。（前面已经处理过了a[i]==b[j]的情况）
   3.最后的答案是f[][]最后一个元素的值。

图解

我们拿POJ的一个样例来举例。
刚开始是这样的：

现在来填表，填表规则：比较a[i-1]和b[j-1]的值（-1是因为字符数组是从0开始的，而f[][]是从0初始化的，从1开始填，比如说第一个空是f[1][1]，却要比较a[0][0]。），如果相等，其值为其上、左上、左三个元素中的最小值；如果不等，则是三个元素中的最小值+1（如果你懂了填表规则，能填了，说明你已经懂了）
过程如下：