数据结构与算法分析--二叉排序树（二叉查找树，二叉搜索树）的查找、插入和删除操作

• 什么是二叉排序树
  它表示一棵二叉树，并且包含以下性质：
  1）可能是一棵空树
  2）若不为空，那么其左子树结点的值都是小于根结点的值，右子树结点的值都是大于根结点的值
  3）左右子树都是二叉树。

• 对于二叉排序树功能的介绍
  本文主要介绍的是二叉排序树的几种基本操作，包括查找、插入和删除操作。用到的二叉排序树如下图所示：
  

• 二叉排序树的建立
• 二叉树结点的创建：

typedef struct BiTNode
{
    int data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild,*parent;
}BiTNode,*BiTree;

• 二叉排序树的创建过程
  二叉排序树的创建过程。主要包含两个部分：二叉排序树的创建和插入每个结点的过程。主要就是利用递归操作插入结点。具体过程如下：
  
  • 申请一个结点p的空间，存储数据和左右子树的指针。
• 几种情况的判断：
• 1.判断是否为空树，空树时，插入的节点直接为根结点
• 2.插入结点的值>根结点的值，插入结点直接设置为右孩子。设置方式：根结点的右孩子子针直接连接插入结点。
• 3.插入结点的值<根结点的值，插入结点直接设置为左孩子。设置方式 : 根结点的左孩子子针直接连接插入结点。
• 4.进行递归操作。继续插入下个结点，此时的根结点就是刚刚插入的结点。

//创建一棵二叉排序树
void create(BiTree* root,int* keyArray,int length )
{
    int i;
    for(i=0;ivoid insert(BiTree* root,int data)
{
    //初始化插入的节点
    BiTree p=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
    p->data=data;
    p->lchild=p->rchild=NULL;
    //空树时，直接最为根结点
    if((*root)=NULL)
    {
        *root=p;
        return;
    }
    //插入到当前结点的左孩子
    if((*root)->lchild==NULL&&(*root)->data>data)
    {
        p->parent=(*root);
        (*root)->lchild=p;
        return;
    }
    if((*root)->rchild==NULL&&(*root)->data<data)
    {
        p->parent=(*root);
        (*root)->rchild=p;
        return;
    }
    if((*root)->data>data)
        insert(&(*root)->lchild,data);
    else if((*root)->data<data)
        insert(&(*root)->rchild,data);
    else
        return;
}

-二叉排序树的搜索和插入操作
二叉排序树的搜索过程：

• 二叉树是否存在
• 搜索结点的值是否等于T的值
• 如果搜索结点的值小于T的值，那就进行递归操作继续搜索T的左子树。
• 如果搜索结点的值大于T的值，那就进行递归操作继续搜索T的右子树。

二叉排序树的插入操作主要包括以下几个过程：

• 1.首先判断插入结点，和树中结点是否存在重复，这时候用到的是结点的搜索操作，若没有重复的节点，就进行后面的插入操作。
• 2.创建一个新结点，存储插入结点的值。
• 3.如果是空树，插入结点直接插入进去。
• 4.如果树不为空，插入结点的值小于最后一个结点的值，插入结点连接最后一个结点的左子树；插入结点的值大于最后一个结点的值，插入结点连接最后一个结点的右子树。

 /*
当二叉排序树T中不存在关键字key的数据元素时，插入key并返回true，否则返回false.
*/
BiTree SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f,BiTree * p)
{
    if(!T)
    {
        *p=f;
        return NULL;
    }
    else if(key==T->data)
    {
        *p=T;
        return *p;
    }
    else if(key<T->data)
    {
        return SearchBST(T->lchild,key,T,p);
    }
    else
        return SearchBST(T->rchild,key,T,p);
}
BiTree InsertBTS(BiTree *T ,int key)
{
    BiTree p,s;
    //判断经过二叉树的查找，是否找得到所需结点
    if(!SearchBST(*T,key,NULL,&p))
    {
        //找不到结点，那首先生成一个结点（不存在重复结点）
        s=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        s->data=key;
        s->lchild=NULL;
        s->rchild=NULL;

        if(!p)//最后一个结点是否在树里面，进入循环表示树不为空，进入查找。
        {
            *T=s;
        }
        if(key<p->data)
        {
            s=p->lchild;
        }
        else
        {
            s=p->rchild;
        }
        return s;
    }
    else
    {
        return NULL;
    }

}

.

查找删除结点操作

• 判断键值是否等于当前结点的值，等于直接调用删除函数。
• 如果键值小于当前结点的值，则递归调用查找删除结点，若值小于此结点的值，递归传入左子树，若大于递归传入右子树。

删除操作主要包含三种情况：
定义删除结点为p结点，q指针用于传递。

• 删除结点的右子树为空的情况下
  把p结点的地址传给q指针，再把p的左子树的值传递给p，最后释放q。
• 删除结点的左子树为空的情况下
  把p结点的地址传给q指针，再把p的右子树的值传递给p，最后释放q。
• 删除结点的左右子树都不为空
  这种情况的主要思想是用删除结点的直接前驱去替换这个结点的值，最后只需要释放直接前驱的结点即可，框架结构是不需要调整的。（下面的删除方式是以找到左子树的直接前驱结点为例）
  1.q指针指向删除结点的位置，s指针指向删除结点的左子树。
  2.然后循环搜索直接前驱结点，并用s指针指向这个前驱结点，q指向前驱结点的双亲节点。
  3.进行判断，如果删除的结点就是前驱结点的双亲节点，那么直接就把双亲节点替换到前驱结点的位置。如把99替换到100的位置。如果存在前驱结点的子树，那么就把删除结点的左子树连接前驱结点的左子树。例如103放到100的位置上。
  4。最后释放前驱结点。

BiTree Delete(BiTree *p)
{
    BiTree q,s;
    //右子树为空的情况下
    if((*p)->rchild==NULL)
    {
        q=*p;
        *p=(*p)->lchild;
        free(q);
    }
    else if((*p)->lchild==NULL)
    {
        q=*p;
        *p=(*p)->rchild;
        free(q);
    }
    //以直接前驱做替换
    else
    {
        q=*p;
        s=(*p)->lchild;
        while(s->rchild)
        {
            q=s;
            s=s->rchild;
        }
        (*p)->data=s->data;
        if(q!=*p)
        {
            q->rchild=s->lchild;
        }
        else
        {
            q->lchild=s->lchild;
        }
        free(s);
    }
    return s;
}

//删除二叉树模块
BiTree DeleteBST(BiTree *T ,int key)
{
    if(!*T)
    {
        return NULL;
    }
    else
    {
        if(key==(*T)->data)
            return Delete(T);

        else if(key<(*T)->data)
        {
            return DeleteBST(&((*T)->lchild),key);
        }
        else
        {
            return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);
        }
    }
}