二分查找(上)--数据结构和算法之美--CH15

1. 什么是二分查找

  二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。
  每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

2. 二分查找的时间复杂度

  二分查找，每次执行完成，数据量就会缩小一半：

  当$n/2^k=1$则查找结束，因此时间复杂度为$k=lo{g}_2^n$。
$O(logn)$是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比$O(1)$的算法还要高效。因为$O(logn)$是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的$logn$也很小。比如42亿对应$logn$才32，因此$O(logn)$有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。

3. 二分查找实现

  考虑最简单的情况，有序数组中不存在重复元素，查找给定值。

3.1 非递归实现

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;

  while (low <= high) {// high

  三个易错点：

1. 循环退出条件：start<=end，而不是start
2. mid的计算：使用mid=start + (end - start) / 2，而不用mid=(start + end)/2，因为如果start和end比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即start + ((end - start) >> 1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
3. start和end的更新：start = mid - 1，end = mid + 1，若直接写成start = mid，end=mid，就可能会发生死循环。

3.2 递归实现

// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}
private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1; //相当于low<=high不退出，和循环一样的退出条件
  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

4.二分查找应用场景

1. 二分查找依赖的是顺序表结构即数组。
2. 二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
3. 数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那还是尽量减少比较操作，使用二分查找吧。
4. 数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。

5. 问题解答

1. 如何在1000万个整数中快速查找某个整数？
   (1) 1000万个整数，每个8字节，占用存储空间为80MB，占用空间不大，所以可以全部加载到内存中进行处理；
   (2) 用一个1000万个元素的数组存储，然后使用快排进行升序排序，时间复杂度为O(nlogn)
   (3) 在有序数组中使用二分查找算法进行查找，时间复杂度为O(logn)
   不能使用hash map，因为需要额外空间存储键值。

2. 如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位？
   (1) 先根据二分查找，确定平方根在x和x+1范围内，即$x^2<y<(x+1{)}^2$。
   (2) 再通过二分查找，确定平方根在小数点后一位的区间，$x.m$ 到 $x.m+0.1$。
   依次类推。
   (3)到第6位，通过介值定理判断，若$(middle+0.000001)\ast (middle+0.000001)＞x$且$(middle-0.000001)\ast (middle-0.000001)<x$，根据介值定理，可知middle既是求解值。

3. 如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高，那么怎么分析一下链表的二分查找时间复杂度？
     假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异):
   第一次查找中间点，需要移动指针n/2次；
   第二次，需要移动指针n/4次；
   第三次需要移动指针n/8次；
   …
   以此类推，一直到1次为值
     总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + …+ 1，这显然是个等比数列，根据等比数列求和公式：Sum = n - 1。
     算法时间复杂度是$O(n)$时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同。但在二分查找由于要进行多余的运算，严格来说会比顺序查找时间慢。