时间复杂度标记与分析（算法分析与设计）

A.渐进分析记号

O：渐进上界记号，算法A时间复杂度最大不会超过O(f(n))

Ω：渐进下界记号，算法A时间复杂度最小不低于Ω(f(n))

Θ：渐进确界记号，算法A时间复杂度在Θ(f(n))这个级数

B.算法分析基本法则

a.递归算法复杂度分析

1.主方法（适用于T(n)=aT(n/b)+f(n)型）

递归式子：T(n)=aT(n/b)+f(n)（其中f(n)含logn的情形不符合主定理的适用范围）

第1）条：n^[logb(a)-c] 等于 [n^logb(a)]/[n^c]。 因为 n>1，所以[n^c]大于1，所以第一条翻译成人话，就是当f(n)< n^logb(a)时，时间复杂度T(n)=Θ( n^logb(a) )

第2）条：当f(n)= n^logb(a)时，时间复杂度T(n)=Θ(【n^logb(a)】*【logn】)

第3）条：当f(n) > n^logb(a)时，时间复杂度T(n)=Θ( f(n) )

记忆：哪个大，时间复杂度就是哪个！若相等，就乘个logn

（为什么乘log n ： 可能是源于递归树法？树高为H的完全二叉树，其树高为logn ）

例子：T(n)=9T(n/3)+n

f(n)=n，n^logb(a)=n^2，f(n)Θ( n^logb(a) )，T(n)=Θ( n^2 )

2.递归树（<或直接代入迭代求>一般主方法不适用的递归）

由例子1：T(n)=2T(n/2)+n^2描述

迭代2次可以得：

　　T(n) = n² + 2(2T(n/4) + (n/2) ²)

还可以继续迭代，将其完全展开可得：

T(n) = n² + 2((n/2) ² + 2((n/2²)² + 2((n/2³) ² + 2((n/2⁴) ² +…+2((n/2ⁱ) ² + 2T(n/2^{i + 1})))…))))　　……(1)

而当n/2ⁱ⁺¹ == 1时，迭代结束。

将(1)式小括号展开，可得：

T(n) = n² + 2(n/2)² + 2²(n/2²) ² + … + 2ⁱ(n/2ⁱ)² + 2ⁱ⁺¹T(n/2ⁱ⁺¹)

这恰好是一个树形结构，由此可引出递归树法。

图中所有节点之和为：[1 + 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + … + (1/2)ⁱ] n² = 2n²

^{故上述的时间复杂度为：Θ(n^2)，该式子由主方法来计算时间复杂度，也是Θ(n^2)}

由例子2：T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+n描述

当n/(3/2)ⁱ⁺¹为1时，树高最大，次数i为log3/2(n),树高也是log3/2(n)，时间复杂度为n*log3/2(n)，即Θ(nlogn)

b.非递归算法

   求和法（循环）

for(i=0;i

，一层的循环就是一层的∑。算法复杂度为n^2(cost)。