无旋treap学习小记

高一才学这么基本的平衡树，退役了~

鉴于旋转treap不能可持久化，与splay相比除了常数小以外没有什么不同，所以就不学了。

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treap：

treap = tree + heap，即二叉搜索树+堆

它的中序遍历是有序的，这是二叉搜索树的性质。

且对于每一个点有一个随机的键值，对于整个树的任意一棵子树，键值满足堆的性质。

基于随机，树高期望是log的。

非持久化无旋treap：

核心操作有两个：
split和merge

即分离和合并。

split(x,k)表示把x为根的搜索树的前k个分离出来。

merge(a,b)表示合并以a为根和以b为根的搜索树。

注意b树的搜索树值一定要都在a树的右边才能用merge合并，不然就一定要一个个提出来插进去。

这两个操作只要有点智商都写得出来，只是优不优美的问题，标程放文章的最后。

可持久化treap：

注意到无论是split还是merge每次影响到的点都只有log个，且因为每次都是自上而下地遍历整棵树，所以这个是可以线段树一样可持久化的，写法会差不多。

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注意treap中用到了随机，因为c++自带的rand()函数特别慢，所以一般手写。

真正实现的时候并不是给每个点一个键值，而是在merge的时候根据两棵子树的大小来加权再随机来决定谁在上面。

模板：

平衡树例题：
bzoj 3224: Tyvj 1728 普通平衡树

可持久化treap例题：
JZOJ 3658. 【NOI2014模拟】‘‘文本编辑器

T1:

#include
#define x0 t[x][0]
#define x1 t[x][1]
#define ul  unsigned long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;
const int inf = 2e9 + 1;

int n, op, x;
int rt, t[N][2], siz[N], c[2], z[N], td;

ul zz = 998244353; ul randx() {return zz *= 1000000007;}

void upd(int x) { siz[x] = siz[x0] + siz[x1] + 1;}
void split(int x, int k) {
	if(!x) return; c[0] = c[1] = 0;
	int z = siz[x0] < k;
	split(t[x][z], k - z * (siz[x0] + 1));
	t[x][z] = c[!z]; c[!z] = x; upd(x);
}
int merge(int a, int b) {
	if(!a || !b) return a + b;
	if(randx() % (siz[a] + siz[b]) < siz[a]) {
		t[a][1] = merge(t[a][1], b); upd(a); return a;
	} else {
		t[b][0] = merge(a, t[b][0]); upd(b); return b;
	}
}
int gr(int x, int k) {
	if(!x) return 0;
	if(z[x] >= k) return gr(x0, k);
	return gr(x1, k) + siz[x0] + 1;
}
void ins(int k) {
	z[++ td] = k; siz[td] = 1;
	split(rt, gr(rt, k));
	rt = merge(c[0], td); rt = merge(rt, c[1]);
}
void del(int k) {
	split(rt, gr(rt, k)); rt = c[0];
	split(c[1], 1); rt = merge(rt, c[1]);
}
int fi(int x, int k) {
	if(siz[x0] >= k) return fi(x0, k);
	if(siz[x0] + 1 == k) return z[x];
	return fi(x1, k - siz[x0] - 1);
}
int pre(int x, int k) {
	if(!x) return inf;
	if(z[x] < k) {
		int p = pre(x1, k);
		return p == inf ? z[x] : p;
	}
	return pre(x0, k);
}
int nxt(int x, int k) {
	if(!x) return inf;
	if(z[x] > k) {
		int p = nxt(x0, k);
		return p == inf ? z[x] : p;
	}
	return nxt(x1, k);
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	fo(i, 1, n) {
		scanf("%d %d", &op, &x);
		if(op == 1) ins(x);
		if(op == 2) del(x);
		if(op == 3) printf("%d\n", gr(rt, x) + 1);
		if(op == 4) printf("%d\n", fi(rt, x));
		if(op == 5) printf("%d\n", pre(rt, x));
		if(op == 6) printf("%d\n", nxt(rt, x));
	}
}

T2:

#include
#define x0 t[x][0]
#define x1 t[x][1]
#define ll long long
#define ul unsigned long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;

const int N = 2e7;

int t[N][2], siz[N], rev[N], c[2], rt, tot, q, x, l, r, nw;
char v[N];

ul zz = 998244353;

ul randx() {return zz *= 1000000007;}

int xin(int &x) {
	if(!x) return 0;
	v[++ tot] = v[x]; siz[tot] = siz[x];
	t[tot][0] = x0; t[tot][1] = x1;
	rev[tot] = rev[x]; return x = tot;
}
void fan(int x) {swap(x0, x1), rev[x] ^= 1;}
void down(int x) {fan(xin(x0)), fan(xin(x1)), rev[x] = 0;}
void upd(int x) {if(x) siz[x] = siz[x0] + siz[x1] + 1;}
void split(int x, int k) {
	if(!x) return; c[0] = c[1] = nw = 0;
	if(rev[x]) down(x), nw = 1;
	int z = siz[x0] < k;
	split(nw ? t[x][z] : xin(t[x][z]), k - z * (siz[x0] + 1));
	t[x][z] = c[z ^ 1], c[z ^ 1] = x, upd(x);
}
int merge(int a, int b) {
	if(!a || !b) return a + b; nw = 0;
	if(randx() % (siz[a] + siz[b]) < siz[a]) {
		if(rev[a]) down(a), nw = 1;
		t[a][1] = merge(nw ? t[a][1] : xin(t[a][1]), b);
		upd(a); return a;
	} else {
		if(rev[b]) down(b), nw = 1;
		t[b][0] = merge(a, nw ? t[b][0] : xin(t[b][0]));
		upd(b); return b;
	}
}
void ins(int x, char p) {
	v[++ tot] = p, siz[tot] = 1; int y = tot;
	split(rt, x);
	rt = merge(c[0], y), rt = merge(rt, c[1]);
}
void del(int l, int r) {
	split(rt, l - 1); rt = c[0];
	split(c[1], r - l + 1);
	rt = merge(rt, c[1]);
}
void cpy(int l, int r, int x) {
	split(rt, l - 1); rt = c[0];
	split(c[1], r - l + 1); int p = c[0]; xin(p);
	rt = merge(rt, c[0]), rt = merge(rt, c[1]);
	split(rt, x);
	rt = merge(c[0], p), rt = merge(rt, c[1]);
}
void reverse(int l, int r) {
	split(rt, l - 1); rt = c[0];
	split(c[1], r - l + 1);
	fan(c[0]);
	rt = merge(rt, c[0]), rt = merge(rt, c[1]);
}
void query(int x) {
	split(rt, x - 1); rt = c[0];
	split(c[1], 1); putchar(v[c[0]]);
	rt = merge(rt, c[0]), rt = merge(rt, c[1]);
}

int main() {
	freopen("editor.in", "r", stdin);
	freopen("editor.out", "w", stdout);
	for(cin >> q; q; q --) {
		char ch[2]; scanf("%s", ch);
		if(ch[0] == 'I') {
			scanf("%d", &x); scanf("%s", ch);
			ins(x, ch[0]);
		}
		if(ch[0] == 'D') {
			scanf("%d %d", &l, &r);
			del(l, r);
		}
		if(ch[0] == 'C') {
			scanf("%d %d %d", &l, &r, &x);
			cpy(l, r, x);
		}
		if(ch[0] == 'R') {
			scanf("%d %d", &l, &r);
			reverse(l, r);
		}
		if(ch[0] == 'Q') {
			scanf("%d", &x);
			query(x);
		}
	}
}