常系数齐次线性递推学习小记

此篇文章可能写的很不标准，请读者见谅。

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常系数齐次线性递推，可以理解为dp，大概是给出$f[0..k-1]$的初值，
对于$i>=k,f[i]={\sum }_{j=1}^{k-1}f[i-j]\ast c[j]$，$c$也是给出的转移系数。

我们的目的是求$f[n]$，$n$很大

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强套矩阵乘法：
$O(k^3\ast logn)$

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假设我们有一个转移系数$b$,满足$f[n]={\sum }_{i=0}^{n}f[i]\ast b[i]$，我们的终极目的是把$b$化简，使只有$b[0-k-1]$有值，那么有$f[n]={\sum }_{i=0}^{k-1}f[i]\ast b[i]$

显然是存在这样的$b$的，也很好归纳证明：
因为初值是$f[0..k-1]$，$f[0..k-1]$肯定有对应的$b$，$f[k]$显然也有对应的$b$，就是$c$，再看$f[k+1]$,直接由转移式可得它由$f[1..k]$乘上$c$得来，由于$f[1..k]$都可以由$f[0..k-1]$乘上对应$b$得来，我们只需要展开一下，就得到了$f[k+1]$对应的$b$，归纳下去对任意的$f[n]$也成立。

假设现在有一个$b$，b的最高非0项是$b[x](x>=k)$，考虑怎么把$b[x]$弄掉呢？
显然就是$b[x-i]+=b[x]\ast c[i](1<=i<k)$，即把b的影响分到$b[x-1..x-(k-1)]$去

发现这和取模的过程十分类似，
回想一下多项式取模的暴力过程,取最高项系数之商，然后被除式减去除式乘商

我们可以构造多项式$M$：
$M[x^k]=1$
$M[x^i]=-c[k-i](1<=i<k)$

那么对任意合法$b$，直接$Mod$一下$M$就可以得到简化后的式子。

那么$b$怎么求呢？
最简单的b不就是$x^n$吗？

设多项式$A=x^1$，我们就是求$A^{n}ModM$

暴力$Mod$:
$O(k^2\ast logn)$

多项式取$Mod$：
$O(k\ast logk\ast logn)$

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4723

Code：

#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i < B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define pp printf
#define hh pp("\n")
#define cp(a, b, c) fo(i, b, c) cout << a[i] << ' '
#define pb push_back
using namespace std;

const int mo = 998244353;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

const int N = 1 << 18;

ll a[N], b[N]; int r[N];

void dft(ll *a, int tp, int F) {
	int n = 1 << tp;
	ff(i, 0, n) if(r[i] > i) swap(a[r[i]], a[i]);
	for(int h = 1; h < n; h *= 2) {
		ll wn = ksm(ksm(3, (mo - 1) / h / 2), F == 1 ? 1 : mo - 2);
		for(int j = 0; j < n; j += 2 * h) {
			ll A, *l = a + j, *r = a + j + h, w = 1;
			ff(i, 0, h) {
				A = *r * w, *r = (*l - A) % mo, *l = (*l + A) % mo;
				w = w * wn % mo, l ++, r ++;
			}
		}
	}
	if(F == -1) {
		ll v = ksm(n, mo - 2);
		ff(i, 0, n) a[i] = (a[i] + mo) * v % mo;
	}
}
void fft(ll *a, ll *b, int tp) {
	int n = 1 << tp;
	ff(i, 0, n) r[i] = r[i / 2] / 2 + (i & 1) * n / 2;
	dft(a, tp, 1); dft(b, tp, 1);
	ff(i, 0, n) (a[i] *= b[i]) %= mo;
	dft(a, tp, -1);
}

typedef vector<int> V;
V operator *(V p, V q) {
	int n = p.size() + q.size() - 1;
	int tp = 0; while(1 << ++ tp < n);
	ff(i, 0, 1 << tp) a[i] = b[i] = 0;
	ff(i, 0, p.size()) a[i] = p[i];
	ff(i, 0, q.size()) b[i] = q[i];
	fft(a, b, tp); p.clear();
	ff(i, 0, n) p.pb(a[i]);
	return p;
}
V operator + (V p, V q) {
	while(p.size() < q.size()) p.pb(0);
	ff(i, 0, q.size()) p[i] += q[i], p[i] > mo ? p[i] -= mo : 0;
	return p;
}
V operator - (V p, V q) {
	while(p.size() < q.size()) p.pb(0);
	ff(i, 0, q.size()) p[i] -= q[i], p[i] < 0 ? p[i] += mo : 0;
	return p;
}
V operator * (V p, int q) {
	ff(i, 0, p.size()) p[i] = (ll) p[i] * q % mo;
	return p;
}
V ni(V a) {
	int n = a.size();
	int tp = 0; while(1 << ++ tp < n);
	V b; b.clear(); b.pb(ksm(a[0], mo - 2));
	fo(i, 1, tp) {
		V c = a; c.resize(1 << i);
		c = c * b * b; c.resize(1 << i);
		b = b * 2 - c;
	}
	b.resize(n); return b;
}
void fan(V &a) {
	reverse(a.begin(), a.end());
}
V div(V a, V b) {
	int n = a.size() - b.size() + 1;
	fan(a); fan(b);
	b.resize(a.size()); b = ni(b);
	a = a * b; a.resize(n);
	fan(a);
	return a;
}
void mmo(V &a, V &b) {
	if(a.size() < b.size()) return;
	V c = div(a, b);
	a = a - (c * b); a.resize(b.size() - 1);
}

const int M = 50005;

int n, k;
ll f[M], A[M];
V s, x, q;
 
int main() {
	scanf("%d %d", &n, &k);
	fo(i, 1, k) scanf("%lld", &f[i]);
	fo(i, 0, k - 1) scanf("%lld", &A[i]);
	fd(i, k, 1) q.pb(-f[i]); q.pb(1);
	s.pb(1); x.resize(2); x[1] = 1;
	for(; n; n /= 2) {
		if(n & 1) {
			s = s * x; mmo(s, q);
		}
		x = x * x; mmo(x, q);
	}
	ll ans = 0;
	ff(i, 0, s.size())
		ans += s[i] * A[i] % mo;
	pp("%lld\n", (ans % mo + mo) % mo);
}