Exactly 4SAT

算法概论第八章习题8.8：证明精确的4SAT为NP完全问题

首先了解精确的4SAT的定义：In the EXACT 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a disjunction of exactly four literals, and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. 

对于一系列的clauses，每个都恰好是四个literals的析取，并且每个变量在每个clause里都最多只出现一次，求满足条件的赋值

采用比较常规的证明方法，即由NP完全问题3SAT进行归约

设3SAT实例a1 V a2 V a3

（1）若新增的literal包含了a1、a2、a3的其中之一，以a1为例a1 V a2 V a3 V a1 = a1 V a2 V a3可以缩减一次

（2）若新增的literal包含了~a1、~a2、~a3的其中之一，以~a1为例a1 V a2 V a3 V ~a1 = a2 V a3可以缩减两次

（3）若新增的literal包含了无关变量a4，可通过如下方式进行归约：a1 V a2 V a3 = （a1 V a2 V a3 V a4）（a1 V a2 V a3 V ~a4）

1）若a4为真，则a1 V a2 V a3必须为真，否则a1 V a2 V a3 V ~a4为假

2）若a4为假，则a1 V a2 V a3也必须为真，否则a1 V a2 V a3 V a4为假

反过来，若a1 V a2 V a3为真，则无论a4取何值，a1 V a2 V a3 V a4和a1 V a2 V a3 V ~a4都为真

综上所述，已证明无论第四个变量取何值，精确的4SAT问题都可以归约为3SAT问题。因此，即证出精确的4SAT问题是NP完全问题。