#置换#Burnside引理Polya定理

置换

可以看作是元素的全排列。
对于一种数列的置换，我们常常用循环节来表示。
如（1 3 4）（2 5）表示1->3,3->4,4->1 2->5,5->2.
上述置换中循环节的个数为2

Burnside引理

对于一个置换f，若一个着色方案s经过置换后不变，称s为f的不动点。将f的不动点数目记为C(f)，可证明等价类数目为所有C(f)的平均值。

经典问题

向2*2的方格中涂色黑或白，问共有几种不同的方法？
首先，若不旋转，则很容易明白有16种（2*2*2*2）。
但如果规定旋转90°，180°或270°相同的算一种呢？

在上述问题中，0°，90°，180°，270° 分别相当于一种置换，将在它们对应的置换下不动点的数目加起来求平均值就是题目的答案。
即（16+2+4+2）/4=6。

Polya定理

一般的，如果置换f分解成m(f)个乘积，那么每个循环内所有格子的颜色必须相同。假设涂k种颜色，则有C(f)=k^(m(f)).
其实这个定理是为Burnside引理服务的，即如何求一种置换下不动点的个数。

同上的经典问题

对于0° ：(1)(2)(3)(4) –>2^4
对于90°：（1 2 3 4） –>2^1
对于180°：(1 3)(2 4) –>2^2
对于270°：(1 4 3 2) –>2^1
代入Burnside引理可得6.

例题

http://poj.org/problem?id=2409
http://poj.org/problem?id=1286