【机器学习】支持向量机（6）——SMO算法Python代码实现

前言

此文介绍了$SMO$算法，以及前面我们介绍了支持向量机的理论，下面我们就该通过代码来实现了。

由于$SMO$算法不易于理解，为了让大家正确理解它的工作流程，我们先从简化版的$SMO$算法开始讨论。

【数据集以及代码】链接：https://pan.baidu.com/s/1mGQNPA4xmgUEANo1o8rHxg 密码：oq2g

应用简化版$SMO$算法处理小规模数据集

通过之前的学习，我们知道$SMO$算法中的外循环确定要优化的$\alpha$，而简化版的会跳过这一部分，首先在训练数据集上遍历每一个$\alpha$，然后在剩下的$\alpha$集合中随机选取另一个$\alpha$，从而构建$\alpha$对。

这里有一点非常重要，之前我们也提到过，这里再说明一下：
我们需要同时改变两个变量$\alpha$，因为约束条件：
$${\alpha }_1{y}_1+{\alpha }_2{y}_2=-\sum _{i=3}^N{\alpha }_i{y}_i=\varsigma$$
其中，$\varsigma$为常数

为此，我们先构建一个辅助函数，用于在某个区间范围内随机选择一个整数；同时我们也需要另一个辅助函数，用于在数值太大时，对其进行调整；还有一个函数是加载数据集的。

代码如下：

import random
from numpy import *

# 加载数据集
def loadDataSet(filename):
    dataMat = []
    labelMat = []
    fr = open(filename)
    for line in fr.readlines(): # 解析文本文件中的数据
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) # 数据矩阵
        labelMat.append(float(lineArr[2]))  # 类标签
    return dataMat, labelMat

# 用于在某个区间范围内随机选择一个整数
def selectJrand(i, m):  # i为第一个alpha下标，m是所有alpha对应的数目
    j = i
    while (j == i):
        j = int(random.uniform(0, m))
    return j

# 用于调整大于H或小于L的alpha值
def clipAlpha(aj, H, L):
    if aj > H:
        aj = H
    if L > aj:
        aj = L
    return aj

# 测试
dataArr, labelArr = loadDataSet('testSet.txt')
print(labelArr)

运行结果1：

[-1.0, -1.0, 1.0, -1.0, 1.0, 1.0, 1.0, -1.0, -1.0, -1.0, -1.0, -1.0, -1.0, 1.0, -1.0, 1.0, 1.0, -1.0, 1.0, -1.0,...

可以看出，这里采用的类别标签是-1和+1

简化版$SMO$算法

伪代码如下：

创建一个alpha向量并将其初始化为0向量
	当迭代次数小于最大迭代次数时（外循环）:
		对数据集中的每个数据向量（内循环）:
			如果该数据向量可以被优化：
				随机选择另一个数据向量
				同时优化这两个向量
				如果两个向量都不能被优化，退出内循环
	如果所有向量都没有被优化，增加迭代次数，继续下一次循环

python3 代码：

# 简化版SMO算法
def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):  # 数据集、类别标签、常数C、容错率和退出前最大的循环次数
    dataMatrix = mat(dataMatIn)  # 将数据集用mat函数转换为矩阵
    labelMat = mat(classLabels).transpose()  # 转置类别标签（使得类别标签向量的每行元素都和数据矩阵中的每一行一一对应）
    b = 0
    m, n = shape(dataMatrix)  # 通过矩阵的shape属性得到常数m,n
    alphas = mat(zeros((m, 1)))  # 构建一个alpha列矩阵，初始化为0
    iter = 0  # 建立一个iter变量（该变量存储在没有任何alpha改变的情况下遍历数据集的次数，当该变量达到输入值maxIter时，函数结束）
    while (iter < maxIter):  # 遍历数据集的次数小于输入的maxIter
        alphaPairsChanged = 0  # 用于记录alpha是否已经进行优化，先设为0
        for i in range(m):  # 顺序遍历整个集合
            fXi = float(multiply(alphas, labelMat).T * (dataMatrix * dataMatrix[i, :].T)) + b  # fXi可以计算出来，是我们预测的类别
            Ei = fXi - float(labelMat[i])  # 计算误差，基于这个实例的预测结果和真实结果的比对
            if ((labelMat[i] * Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or (
                    (labelMat[i] * Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):  # 如果误差过大，那么对该数据实例对应的alpha值进行优化
                j = selectJrand(i, m)  # 随机选取第二个alpha，调用辅助函数selectJrand
                fXj = float(multiply(alphas, labelMat).T * (dataMatrix * dataMatrix[j, :].T)) + b
                Ej = fXj - float(labelMat[j])  # 计算误差（同第一个alpha值的误差计算方法）
                alphaIold = alphas[i].copy()  # 浅复制，两对象互不影响，为了稍后对新旧alpha值进行比较
                alphaJold = alphas[j].copy()
                if (labelMat[i] != labelMat[j]):  # 保证alpha值在0与C之间
                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:
                    L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L == H:
                    print("L==H")
                    continue  # 本次循环结束，进入下一次for循环
                eta = 2.0 * dataMatrix[i, :] * dataMatrix[j, :].T - \
                      dataMatrix[i, :] * dataMatrix[i, :].T - dataMatrix[j, :] * dataMatrix[j, :].T  # alpha值的最优修改值
                if eta >= 0:
                    print("eta >= 0")
                    continue
                alphas[j] -= labelMat[j] * (Ei - Ej) / eta  # 计算出新的alpha[j]值
                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j], H, L)  # 调用clipAlpha辅助函数以及L,H值对其进行调整
                if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):  # 检查alpha[j]是否有轻微改变，如果是的话，就退出for循环
                    print("J not moving enough!")
                    continue
                alphas[i] += labelMat[j] * labelMat[i] * (alphaJold - alphas[j])  # 对alpha[i]进行同样的改变，改变大小一样方向相反

                # 给alpha[i]和alpha[j]设置一个常数项b，等同于上篇博客中计算阀值b部分，可以对照看
                b1 = b - Ei - labelMat[i] * (alphas[i] - alphaIold) * dataMatrix[i, :] * dataMatrix[i, :].T - \
                     labelMat[j] * (alphas[j] - alphaJold) * dataMatrix[i, :] * dataMatrix[j, :].T
                b2 = b - Ej - labelMat[i] * (alphas[i] - alphaIold) * dataMatrix[i, :] * dataMatrix[j, :].T - \
                     labelMat[j] * (alphas[j] - alphaJold) * dataMatrix[j, :] * dataMatrix[j, :].T
                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]):
                    b = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]):
                    b = b2
                else:
                    b = (b1 + b2) / 2.0
                alphaPairsChanged += 1  # 当for循环运行到这一行，说明已经成功的改变了一对alpha值，同时让alphaPairsChanged加1
                print("iter:%d i:%d,pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
        # for循环结束后，检查alpha值是否做了更新
        if (alphaPairsChanged == 0):  # 如果没有，iter加1
            iter += 1  # 下面后回到while判断
        else:  # 如果有更新则iter设为0后继续运行程序
            iter = 0
        print("iteration number: %d" % iter)
    return b, alphas  # （只有在所有数据集上遍历maxIter次，且不再发生任何alpha值修改之后，程序才会停止，并退出while循环）

# 测试
b, alphas = smoSimple(dataArr, labelArr, 0.6, 0.001, 40)
print(b)
print(alphas[alphas > 0])  # 观察元素大于0的

shape(alphas[alphas > 0])  # 得到支持向量的个数

for i in range(100):
    if alphas[i] > 0.0:
        print("简单版支持向量为:", dataArr[i], labelArr[i])

运行结果2：

为了画出图形来，我们还需要计算w的值，如下：

python3 代码：

# 计算w的值
# 该程序最重要的是for循环，for循环中实现的仅仅是多个数的乘积，前面我们计算出的alpha值，大部分是为0
# 虽然遍历数据集中的所有数据，但是起作用的只有支持向量，其他对计算w毫无作用
def calcWs(alphas, dataArr, classLabels):
    X = mat(dataArr)
    labelMat = mat(classLabels).transpose()
    m, n = shape(X)
    w = zeros((n, 1))
    for i in range(m):
        w += multiply(alphas[i] * labelMat[i], X[i, :].T)
    return w


ws = calcWs(alphas, dataArr, labelArr)
print(ws)

运行结果3：

画图代码：

将上面程序运行的结果输入下面代码：

from numpy import *
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle

xcord0 = []
ycord0 = []
xcord1 = []
ycord1 = []
markers = []
colors = []
fr = open('testSet.txt')
for line in fr.readlines():
    lineSplit = line.strip().split('\t')
    xPt = float(lineSplit[0])
    yPt = float(lineSplit[1])
    label = int(lineSplit[2])
    if (label == -1):
        xcord0.append(xPt)
        ycord0.append(yPt)
    else:
        xcord1.append(xPt)
        ycord1.append(yPt)

fr.close()
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord0, ycord0, marker='s', s=90)
ax.scatter(xcord1, ycord1, marker='o', s=50, c='red')
plt.title('Support Vectors Circled')
circle = Circle((4.658191, 3.507396), 0.5, facecolor='none', edgecolor=(0, 0.8, 0.8), linewidth=3, alpha=0.5)
ax.add_patch(circle)
circle = Circle((3.457096, -0.082216), 0.5, facecolor='none', edgecolor=(0, 0.8, 0.8),linewidth=3, alpha=0.5)
ax.add_patch(circle)
circle = Circle((5.286862, -2.358286), 0.5, facecolor='none', edgecolor=(0, 0.8, 0.8), linewidth=3,alpha=0.5)
ax.add_patch(circle)
circle = Circle((6.080573, 0.418886), 0.5, facecolor='none', edgecolor=(0, 0.8, 0.8), linewidth=3,alpha=0.5)
ax.add_patch(circle)
# plt.plot([2.3,8.5], [-6,6]) #seperating hyperplane
b = -3.82407793
w0 = 0.81085367
w1 = -0.25395222
x = arange(-2.0, 12.0, 0.1)
y = (-w0 * x - b) / w1
ax.plot(x, y)
ax.axis([-2, 12, -8, 6])
plt.show()

运行结果4：

在几百个点 组成的小规模数据集上，简化版$SMO$算法的运行是没有什么问题的，但是在更大的数据集上运行的速度就会很慢。

下面我们讨论完整版的$SMO$算法。

在这两个版本中，实现$\alpha$的更改和代数运算的优化环节一模一样。在优化过程中，唯一不同的就是选择$\alpha$的方式。完整版$SMO$算法应用了一些能够提速的启发式方法。

$SMO$算法是通过一个外循环来选择第一个$\alpha$值的，并且其选择过程会在两种方式之间进行交替：

• 在所有数据集上进行单遍扫描
• 在非边界$\alpha$中实现单遍扫描

所谓非边界$\alpha$，即：指那些不等于边界0或C的$\alpha$值。

对整个数据集的扫描相当容易，而实现非边界扫描，首先需要建立这些$\alpha$值的列表，然后再对这个列表进行遍历，同时该步骤会跳过那些已知的不会改变的$\alpha$值。
在选择第一个$\alpha$值后，算法会通过一个内循环来选择第二个$\alpha$值。在优化过程中通过最大化步长来获取第二个$\alpha$值。
我们建立一个全局的缓存用于保存误差值，从中选择使得步长或者$E_i-E_j$最大的$\alpha$值。

利用完整版进行优化

以下为用于清理代码的数据结构和3个用于对$E$进行缓存的辅助函数：

完整版$SMO$的支持函数

python3 代码：

# 完整版Platt SMO的支持函数
# （不加核函数）构建一个仅包含init方法的optStruct类，实现其成员变量的填充
class optStruct:
    def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler):
        self.X = dataMatIn
        self.labelMat = classLabels
        self.C = C
        self.tol = toler
        self.m = shape(dataMatIn)[0]
        self.alphas = mat(zeros((self.m, 1)))
        self.b = 0
        self.eCache = mat(zeros((self.m, 2)))

# 计算E值并返回
# 不加核函数
def calcEk(oS, k):
    fXk = float(multiply(oS.alphas, oS.labelMat).T * (oS.X * oS.X[k, :].T)) + oS.b
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek

# 内循环中的启发式方法，选择第二个alpha
def selectJ(i, oS, Ei):
    maxK = -1
    maxDeltaE = 0
    Ej = 0
    oS.eCache[i] = [1, Ei]
    validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:, 0].A)[0]  # 构建出一个非零表，函数nonzero返回一个列表

    # 在所有值上进行循环并选择其中使得该变量最大的那个值
    if (len(validEcacheList)) > 1:
        for k in validEcacheList:
            if k == i:
                continue
            Ek = calcEk(oS, k)
            deltaE = abs(Ei - Ek)
            if (deltaE > maxDeltaE):
                maxK = k
                maxDeltaE = deltaE
                Ej = Ek
        return maxK, Ej
    else:
        j = selectJrand(i, oS.m)
        Ej = calcEk(oS, j)
    return j, Ej


# 计算误差值并存入缓存中，在对alpha值进行优化之后会用到这个值
def updateEk(oS, k):
    Ek = calcEk(oS, k)
    oS.eCache[k] = [1, Ek]

完整版$SMO#算法内外循环函数

# 完整Platt SMO算法中的优化例程（与smoSimple()函数一样，只是使用了自己的数据结构，在参数oS中传递）
# innerL()函数用来选择第二个alpha，并在可能是对其进行优化处理，如果存在任意一对alpha值发生变化，那么返回1
# 不加核函数
def innerL(i, oS):
    Ei = calcEk(oS, i)  # 计算E值
    if ((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or \
            ((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
        j, Ej = selectJ(i, oS, Ei)  # 第二个alpha选择中的启发式方法
        alphaIold = oS.alphas[i].copy()
        alphaJold = oS.alphas[j].copy()
        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
            L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L == H:
            print("L==H")
            return 0
        eta = 2.0 * oS.X[i, :] * oS.X[j, :].T - oS.X[i, :] * oS.X[i, :].T - oS.X[j, :] * oS.X[j, :].T
        if eta >= 0:
            print("eta>=0")
            return 0
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej) / eta
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j], H, L)
        updateEk(oS, j)  # 计算误差值，并存入缓存
        if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
            print("j not moving enough")
            return 0
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j] * oS.labelMat[i] * (alphaJold - oS.alphas[j])
        updateEk(oS, i)
        b1 = oS.b - Ei - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.X[i, :] * oS.X[i, :].T - oS.labelMat[j] * \
             (oS.alphas[j] - alphaJold) * oS.X[i, :] * oS.X[j, :].T
        b2 = oS.b - Ej - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.X[j, :] * oS.X[j, :].T - oS.labelMat[j] * \
             (oS.alphas[j] - alphaJold) * oS.X[j, :] * oS.X[j, :].T
        if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]):
            oS.b = b1
        elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]):
            oS.b = b2
        else:
            oS.b = (b1 + b2) / 2.0
        return 1
    else:
        return 0

# 完整版Platt SMO的外循环代码
# 不加核函数
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):  # 数据集、类别标签、常数C、容错率和退出前最大的循环次数
    oS = optStruct(mat(dataMatIn), mat(classLabels).transpose(), C, toler)  # 构建一个数据结构来容纳所有的数据

    # 初始化一些控制变量
    iter = 0
    entireSet = True
    alphaPairsChanged = 0

    # 代码主体
    # 退出循环的条件：
    # 1、迭代次数超过指定的最大值；
    # 2、历整个集合都没有对任意alpha值进行修改（即：alphaPairsChanged=0）
    while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
        alphaPairsChanged = 0
        if entireSet:  # 遍历所有的值
            for i in range(oS.m):
                alphaPairsChanged += innerL(i, oS)  # 调用innerL()函数
                print("fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
            iter += 1
        else:  # 遍历非边界值（非边界值指的是那些不等于边界0或C的alpha值）
            nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
            for i in nonBoundIs:
                alphaPairsChanged += innerL(i, oS)
                print("non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
            iter += 1
        if entireSet:
            entireSet = False
        elif (alphaPairsChanged == 0):
            entireSet = True
        print("iteration number: %d" % iter)
    return oS.b, oS.alphas

测试代码：

# 测试
dataArr, labelArr = loadDataSet('testSet.txt')
b, alphas = smoP(dataArr, labelArr, 0.6, 0.001, 40)
print(b)
print(alphas[alphas > 0])  # 观察元素大于0的

shape(alphas[alphas > 0])  # 得到支持向量的个数

for i in range(100):
    if alphas[i] > 0.0:
        print("完整版支持向量为:", dataArr[i], labelArr[i])


# 计算w的值
# 该程序最重要的是for循环，for循环中实现的仅仅是多个数的乘积，前面我们计算出的alpha值，大部分是为0
# 虽然遍历数据集中的所有数据，但是起作用的只有支持向量，其他对计算w毫无作用
def calcWs(alphas, dataArr, classLabels):
    X = mat(dataArr)
    labelMat = mat(classLabels).transpose()
    m, n = shape(X)
    w = zeros((n, 1))
    for i in range(m):
        w += multiply(alphas[i] * labelMat[i], X[i, :].T)
    return w


ws = calcWs(alphas, dataArr, labelArr)
print(ws)

# 对数据进行分类处理
dataMat = mat(dataArr)
print(dataMat[0] * mat(ws) + b)
print(labelArr[0])

dataMat = mat(dataArr)
print(dataMat[1] * mat(ws) + b)
print(labelArr[1])

dataMat = mat(dataArr)
print(dataMat[2] * mat(ws) + b)
print(labelArr[2])

运行结果5：

将程序运行结果代入画图代码同样可以画出图：

图中我们可以看出，这两个类的数据点分布在一条直线的两侧，我们可以得到两类的分割线。但倘若两类数据集分布在一个圆的内部和外部呢？
之前博客理论部分我们以及说明了非线性支持向量机，使用核技巧

下面我们就来讨论在复杂数据上应用核函数

在复杂数据上应用核函数

代码如下：

import random
from numpy import *

def loadDataSet(filename):
    dataMat = []
    labelMat = []
    fr = open(filename)
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(float(lineArr[2]))
    return dataMat, labelMat


def selectJrand(i, m):
    j = i
    while (j == i):
        j = int(random.uniform(0, m))
    return j


def clipAlpha(aj, H, L):
    if aj > H:
        aj = H
    if L > aj:
        aj = L
    return aj


# 加核函数
def calcEkK(oS, k):
    fXk = float(multiply(oS.alphas, oS.labelMat).T * oS.K[:, k] + oS.b)
    Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
    return Ek


# 内循环中的启发式方法，选择第二个alpha
def selectJK(i, oS, Ei):
    maxK = -1
    maxDeltaE = 0
    Ej = 0
    oS.eCache[i] = [1, Ei]
    validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:, 0].A)[0]  # 构建出一个非零表，函数nonzero返回一个列表

    # 在所有值上进行循环并选择其中使得该变量最大的那个值
    if (len(validEcacheList)) > 1:
        for k in validEcacheList:
            if k == i:
                continue
            Ek = calcEkK(oS, k)
            deltaE = abs(Ei - Ek)
            if (deltaE > maxDeltaE):
                maxK = k
                maxDeltaE = deltaE
                Ej = Ek
        return maxK, Ej
    else:
        j = selectJrand(i, oS.m)
        Ej = calcEkK(oS, j)
    return j, Ej


# 计算误差值并存入缓存中，在对alpha值进行优化之后会用到这个值
def updateEkK(oS, k):
    Ek = calcEkK(oS, k)
    oS.eCache[k] = [1, Ek]


# 核转换函数
def kernelTrans(X, A, kTup):  # 2个数值型变量和一个元祖，kTup是一个包含核函数信息的元祖，该元祖的第一个参数描述的是所用核函数的类型的一个字符串
    m, n = shape(X)
    K = mat(zeros((m, 1)))
    if kTup[0] == 'lin':  # 线性核函数，内积计算在“所有数据集”和“数据集中的一行”这两个输入之间展开
        K = X * A.T
    elif kTup[0] == 'rbf':  # 径向核函数，在for循环中对矩阵的每个元素计算高斯函数值
        for j in range(m):
            deltaRow = X[j, :] - A
            K[j] = deltaRow * deltaRow.T
        K = exp(K / (-1 * kTup[1] ** 2))
    else:
        raise NameError('Houston We have a  Problem -- That Kernel is not recognized')  # 遇到无法识别的核函数抛出异常
    return K


class optStruct:
    def __init__(self, dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup):
        self.X = dataMatIn
        self.labelMat = classLabels
        self.C = C
        self.tol = toler
        self.m = shape(dataMatIn)[0]
        self.alphas = mat(zeros((self.m, 1)))
        self.b = 0
        self.eCache = mat(zeros((self.m, 2)))
        self.K = mat(zeros((self.m, self.m)))
        for i in range(self.m):
            self.K[:, i] = kernelTrans(self.X, self.X[i, :], kTup)


# 加入核函数
def innerLK(i, oS):
    Ei = calcEkK(oS, i)  # 计算E值
    if ((oS.labelMat[i] * Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or \
            ((oS.labelMat[i] * Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
        j, Ej = selectJK(i, oS, Ei)  # 第二个alpha选择中的启发式方法
        alphaIold = oS.alphas[i].copy()
        alphaJold = oS.alphas[j].copy()
        if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
            L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
            H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
        else:
            L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
            H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
        if L == H:
            print("L==H")
            return 0
        eta = 2.0 * oS.K[i, j] - oS.K[i, i] - oS.K[j, j]
        if eta >= 0:
            print("eta>=0")
            return 0
        oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j] * (Ei - Ej) / eta
        oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j], H, L)
        updateEkK(oS, j)  # 计算误差值，并存入缓存
        if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
            print("j not moving enough")
            return 0
        oS.alphas[i] += oS.labelMat[j] * oS.labelMat[i] * (alphaJold - oS.alphas[j])
        updateEkK(oS, i)
        b1 = oS.b - Ei - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.K[i, i] - oS.labelMat[j] * \
             (oS.alphas[j] - alphaJold) * oS.K[i, j]
        b2 = oS.b - Ej - oS.labelMat[i] * (oS.alphas[i] - alphaIold) * oS.K[i, j] - oS.labelMat[j] * \
             (oS.alphas[j] - alphaJold) * oS.K[j, j]
        if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]):
            oS.b = b1
        elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]):
            oS.b = b2
        else:
            oS.b = (b1 + b2) / 2.0
        return 1
    else:
        return 0


# 加入核函数
def smoPK(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter, kTup=('lin', 0)):
    oS = optStruct(mat(dataMatIn), mat(classLabels).transpose(), C, toler, kTup)
    iter = 0
    entireSet = True
    alphaPairsChanged = 0
    while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
        alphaPairsChanged = 0
        if entireSet:
            for i in range(oS.m):
                alphaPairsChanged += innerLK(i, oS)
                print("fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
            iter += 1
        else:
            nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
            for i in nonBoundIs:
                alphaPairsChanged += innerLK(i, oS)
                print("non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter, i, alphaPairsChanged))
            iter += 1
        if entireSet:
            entireSet = False  # toggle entire set loop
        elif (alphaPairsChanged == 0):
            entireSet = True
        print("iteration number: %d" % iter)
    return oS.b, oS.alphas


# 利用核函数进行分类的径向基测试函数
def testRbf(k1=1.3):  # 参数为高斯径向基函数中的一个用户定义变量
    dataArr, labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt')  # 读入数据集
    b, alphas = smoPK(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, ('rbf', k1))  # 调用函数smoP,核函数类型为"rbf"
    datMat = mat(dataArr)
    labelMat = mat(labelArr).transpose()
    svInd = nonzero(alphas.A > 0)[0]
    sVs = datMat[svInd]  # 构建支持向量矩阵
    labelSV = labelMat[svInd]
    print("there are %d Support Vectors" % shape(sVs)[0])
    m, n = shape(datMat)
    errorCount = 0

    for i in range(m):
        # 整个代码最重要部分（for循环开始的这两行），给出如何利用核函数进行分类
        kernelEval = kernelTrans(sVs, datMat[i, :], ('rbf', k1))  # 调用kernelTrans()核转换函数
        predict = kernelEval.T * multiply(labelSV, alphas[svInd]) + b  # 与其面的alpha及类别标签值求积
        if sign(predict) != sign(labelArr[i]):
            errorCount += 1
    print("the training error rate is: %f" % (float(errorCount) / m))
    dataArr, labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt')
    errorCount = 0
    datMat = mat(dataArr)
    labelMat = mat(labelArr).transpose()
    m, n = shape(datMat)
    for i in range(m):  # 与前面一个for循环相比，只是数据集不同，使用的是测试数据集
        kernelEval = kernelTrans(sVs, datMat[i, :], ('rbf', k1))
        predict = kernelEval.T * multiply(labelSV, alphas[svInd]) + b
        if sign(predict) != sign(labelArr[i]):
            errorCount += 1
    print("the test error rate is: %f" % (float(errorCount) / m))


# 测试
testRbf()

运行结果6：

你可以尝试更换不同的$k1$值以观察测试错位率、训练错误率，支持向量个数

• 参考书籍《机器学习实战》