数组中第k小的元素

思路1

O(n)的算法，只有当我们可以修改输入的数组时可用

从上一题中我们可以得到启发，我们同样可以基于Partition函数来解决这个问题。如果基于数组的第k个数字来调整，使得比第k个数字小的所有数字都位于数组的左边，比第k个数字大的所有数字都位于数组的右边。这样调整之后，位于数组中左边的k个数字就是最小的k个数字。

    /* 解法1：
     *    使用快排的partition函数
     */
    public int partition(int[] arr, int left, int right) {
        int result = arr[left];
        if (left > right)
            return -1;

        while (left < right) {
            while (left < right && arr[right] >= result) {
                right--;
            }
            arr[left] = arr[right];
            while (left < right && arr[left] < result) {
                left++;
            }
            arr[right] = arr[left];
        }
        arr[left] = result;
        return left;
    }
    public int[] getLeastNumbers(int[] input,int k){
        if(input.length == 0 || k<= 0)
            return null;
        int[] output = new int[k];
        int start = 0;
        int end = input.length-1;
        int index = partition(input,start,end);
        while(index != k-1){
            if(index > k-1){
                end = index -1;
                index = partition(input,start ,end);
            }
            else{
                start = index+1;
                index = partition(input,start ,end);
            }
        }
        for(int i = 0;i

思路2

O(nlogk)的算法，特别适用处理海量数据

我们可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字，接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器中；如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字了而只能替换已有的数字。找出这已有的k个数中的最大值，然后拿这次待插入的整数和最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最小值小，则用这个数替换当前已有的最大值；如果待插入的值比当前已有的最大值还大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做3件事；一是在k个整数中找到最大数；二是有可能在这个容器中删除最大数；三是有可能要插入一个新的数字。如果用一个二叉树来实现这个容器，那么我们能在O(logk）时间内实现这三步操作。因此对于n个输入的数字而言，总的时间效率是O(nlogk).

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于每次都需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到用大根堆。在大根堆中，根节点的值总是大于它的子树中的任意结点的值。于是我们每次可以在O(1）得到已有的k个数字中的最大值，但需要O(logk)时间完成删除及插入操作。

    /* 解法2：
     *    使用大顶堆
     */
    //自下往上调整堆(lastIndex-1)/2~lastIndex
    public void MaxHeapFixDown(int[] arr,int lastIndex){
        for(int i = (lastIndex-1)/2;i>=0;i--){
            int k = i;
            while(2*k+1 <= lastIndex){
                int biggerIndex = 2*k+1;
                if(biggerIndex if(arr[biggerIndex]< arr[biggerIndex+1])
                        biggerIndex++;
                }
                if(arr[k] < arr[biggerIndex]){
                    swap(arr,k,biggerIndex);
                    k = biggerIndex;
                }
                else
                    break;
            }
        }
    }
    public static void swap(int[] arr,int i ,int j){
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }
    //堆排序
    public void heapSort(int[] arr){
        for(int i = 0;i1;i++){
            /*
             * 这里没有一开始就把数组构建成大根堆，所以进行堆排序的时候要先构建堆，如果数组已经是大根堆了这里可以直接将堆顶和最后一个元素交换
             */
            MaxHeapFixDown(arr,arr.length-i-1);
            /*
             * 堆顶元素arr[0]和arr[arr.length-i-1]交换位置，把每次调整后的堆顶即arr[0]交换到后面去，然后接着调整前面的元素
             * 这样每次循环都将堆顶最大值交换到堆尾的位置，得到的顺序就是从小到大！！！
             * 
             * 需要注意的是:
             *      每次循环都相当于从堆中将最大值即堆顶元素然后交换到堆尾，而后面堆尾不再参与调整，所以每次需要调整的堆元素个数都减少一个
             */
            swap(arr,0,arr.length-i-1);

            //
        }
    }
    public void getLeastNumbers2(int[] arr,int k){
        if(arr == null || k<0 || k>arr.length)
            return;
        //先取输入数组的前k个数建立大根堆
        int[] kArray = Arrays.copyOfRange(arr, 0, k);
        heapSort(kArray);
        //从k+1个数开始和根节点比较，直到遍历完整个数组
        for(int i = k;i//小于根节点，则当前节点取代根节点，然后重新对kArray堆排序，大于根节点直接舍去
            if(arr[i]1]){
                kArray[k-1] = arr[i];
                heapSort(kArray);
            }
        }
        //遍历完整个数组后，输出最小的k个元素
        for(int i:kArray)
            System.out.print(i);
    }

    @Test
    public void test1() {
        int arr[] = {4,5,1,6,2,7,3,8};
        getLeastNumbers2(arr, 3);
    }

两种思路的比较

基于函数Partition的第一种解法的平均时间复杂度是O(n)，比第二种思路要快，但同时它也有明显的限制，比如会修改输入的数组。

第二种解法虽然要慢一点，但它有两个明显的优点。一是没有修改输入的数据；二是该算法适合海量数据的输入（包括百度在内的多家公司非常喜欢与海量数据相关的问题）。假如题目是要求从海量的数据中找出最小的k个数字，由于内存的大小是有限的，有可能不能把这些海量数据一次性全部加载入内存。这个时候，我们可以辅助存储空间（比如磁盘）中每次读入一个数字，根据GetLeastNumbers的方式判断是不是需要放入容器LeastNumbers即可。这种思路只要求内存能够容纳leastNumbers即可。因此它适合的情形就是n很大并且k较小的问题。

如下图比较两种算法：