【矩阵快速幂】LOJ3086 「GXOI / GZOI2019」逼死强迫症

【题目】
LOJ
有一条$2\times n$的路，要用$n-1$个$1\times 2$的相同砖块和两个$1\times 1$的相同砖块来铺路，要求两个小砖块没有邻边，求方案数。有$T$组数据。
$n\le 2\times 10^9,T\le 500$

【解题思路】
首先如果没有那两个$1\times 1$的砖块，答案就是$fib$，也就是考虑前两列的放置方式。不妨将$fib$记为$f_i$。

现在考虑两个$1\times 1$，那么对于它们中间的方块，放置方式是唯一的。设答案为$g_i$，实际上我们就是要考虑第二块$1\times 1$放在哪里，它是一个$f$的前缀和形式。不妨将$s$记为$f$的前缀和，那么我们有：

$$g_i=g_{i-1}+g_{i-2}+2\cdot s_{i-3}$$
又根据$fib$的特性，我们可以得到$s_{i-3}=f_{i-1}-1$，那么柿子就可以写成：
$$g_i=g_{i-1}+g_{i-2}+2\cdot f_{i-1}-2$$
这个就可以写成矩阵的形式了，是一个$5\times 5$的矩阵（还有常数项）。

初始$f_0=f_1=1,g_0=g_1=0$

复杂度$O(T\cdot 5^3\cdot \log n)$

【参考代码】

#include
using namespace std;

const int mod=1e9+7;

void up(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}

struct Matrix
{
	int a[5][5];
	Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
	void init(){memset(a,0,sizeof(a));}
	void one(){for(int i=0;i<5;++i)a[i][i]=1;}
	Matrix operator *(const Matrix&A)const
	{
		Matrix res;
		for(int i=0;i<5;++i) for(int j=0;j<5;++j) for(int k=0;k<5;++k)
			up(res.a[i][j],mul(a[i][k],A.a[k][j]));
		return res;
	}
}bas,beg,now;
Matrix mpow(Matrix x,int y)
{
	Matrix res;res.one();
	for(;y;y>>=1,x=x*x)if(y&1)res=res*x;
	return res;
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("LOJ3086.in","r",stdin);
	freopen("LOJ3086.out","w",stdout);
#endif
	bas.a[0][0]=bas.a[0][1]=bas.a[1][0]=bas.a[2][2]=bas.a[2][3]=bas.a[3][2]=bas.a[4][4]=1;
	bas.a[0][2]=2;bas.a[4][2]=mod-1;
	beg.a[0][0]=beg.a[0][1]=1;beg.a[0][4]=2;
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int n;scanf("%d",&n);
		now=bas;now=beg*mpow(now,n-1);
		printf("%d\n",now.a[0][2]);
	}
	return 0;
}