费马小定理与欧拉定理

我是HY！！！！

费马小定理和欧拉定理

1.费马小定理

1）定义

我们现在设正整数 a,m a , m 且 (a,m)=1 ( a , m ) = 1
我们就会有式子

am−1≡1(mod m) a m − 1 ≡ 1 ( m o d   m )

2）证明

我们设一个完全剩余系 A={1,2,3,...,m−1} A = { 1 , 2 , 3 , . . . , m − 1 }
又因为 (a,m)=1 ( a , m ) = 1
我们又得到另一个完全剩余系 B={1a,2a,3a,...,(m−1)a} B = { 1 a , 2 a , 3 a , . . . , ( m − 1 ) a }
根据完全剩余系的性质我们可以轻松得到

(m−1)!≡(m−1)!∗am−1(mod m) ( m − 1 ) ! ≡ ( m − 1 ) ! ∗ a m − 1 ( m o d   m )

消去就可得

am−1≡1(mod m) a m − 1 ≡ 1 ( m o d   m )

2.欧拉定理

1）欧拉函数

欧拉函数记为 ϕ ϕ ，且通常定义在正整数域上
比较直接点，欧拉函数通式是长这样的

ϕ(n)=n∏i=1x(1−1pi) ϕ ( n ) = n ∏ i = 1 x ( 1 − 1 p i )

其中x为n的质因数个数，而 pi p i 是n的第i个质因数
其实欧拉函数更重要的意义是： ϕ(n) ϕ ( n ) 表示小于等于n且与n互质的正整数的个数
由此我们可以的这么一条伪通式

ϕ(n)=∑i=1n[(n,i)==1] ϕ ( n ) = ∑ i = 1 n [ ( n , i ) == 1 ]

欧拉函数是积性函数,由它的意义我们可以很容易用乘法原理证明，同时显然可以知道这不是完全积性函数
若 (n,m)=1 ( n , m ) = 1 ，则有

ϕ(nm)=ϕ(n)∗ϕ(m) ϕ ( n m ) = ϕ ( n ) ∗ ϕ ( m )

2）定义

现在我们来引入欧拉定理，实际上欧拉定理就是费马小定理的推广
我们先定义两个互质的正整数 a,m a , m
我们就会有

aϕ(m)≡1(mod m) a ϕ ( m ) ≡ 1 ( m o d   m )

3)证明

我们令 r=ϕ(n) r = ϕ ( n )
我们先设一个有 r r 个元素的集合 P={p1,p2,p3,...pr} P = { p 1 , p 2 , p 3 , . . . p r } ，其中 pi p i 是第i个与m互质的数
又因为 (a,m)=1 ( a , m ) = 1 ，且P集合中的所有元素都与m互质，所以集合 P′={ap1,ap2,ap3,...apr} P ′ = { a p 1 , a p 2 , a p 3 , . . . a p r } 的所有元素都与m互质，且属于模m的r个不同的剩余类 [p1],[p2],..[pr] [ p 1 ] , [ p 2 ] , . . [ p r ] ，这里我们用同余的性质很容易就可以想到

ar∗∏i=1rpi≡∏i=1rpi(mod m) a r ∗ ∏ i = 1 r p i ≡ ∏ i = 1 r p i ( m o d   m )

消去可得

ar≡1(mod m) a r ≡ 1 ( m o d   m )

所以

aϕ(m)≡1(mod m) a ϕ ( m ) ≡ 1 ( m o d   m )