[Luogu3959] [NOIP2017] 宝藏 Treasure [状态压缩+子集+dp/搜索+剪枝/模拟退火]

[$\mathfrak{L}\mathfrak{i}\mathfrak{n}\mathfrak{k}$]
注意：洛谷题解里面有很大一部分题解是错误的
具体可以用讨论中的hack数据自行验证。

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点数很特殊。
最开始的想法是类似最小生成树那样的东西，不过这个“最小”定义实在有点模糊。

注意到数据范围。n的范围十分特殊，考虑一下。
按理来说不是搜索就是状态压缩了，而且状压的可能性更大一点。
不过还是先考虑搜索吧。

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搜索

首先枚举起点，然后逐个跑最小生成树？
要注意的是，边权不是固定的，和之前的方案有关。所以最小生成树是跑不了了。
不过还是可以骗一点分：尝试枚举全排列，同时每一步还要枚举新的点是哪个点拓展出来的。

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,dis[15][15]={},dep[15]={};
int pt[15][15]={};
int mn[15]={};
long long ans=0x3f3f3f3f;
bool vis[15]={};
int stk[15]={};
inline void dfs(register int step,register long long sum)
{
	if(sum>=ans) return;
	if(step==n) { ans=min(ans,sum); return;}
	for(register int i,ti=1;ti<=stk[0];++ti)
	{
		i=stk[ti];
		for(register int v,j=1;j<=pt[i][0];++j)
		{
			v=pt[i][j];
			if(vis[v])continue;
			vis[v]=1, dep[v]=dep[i]+1; stk[++stk[0]]=v;
			dfs(step+1,sum+1ll*dis[i][v]*dep[v]);
			vis[v]=0; --stk[0];
		}
	}
}
int main()
{
	memset(mn,0x3f,sizeof(mn));
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int i=1;i<=n;++i)dis[i][i]=0;
	for(register int u,v,w,i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		if(dis[u][v]==0x3f3f3f3f)
		{
			pt[u][++pt[u][0]]=v;
			pt[v][++pt[v][0]]=u;
		}
		if(w<dis[u][v])
		{
			dis[u][v]=dis[v][u]=w;
			mn[u]=min(mn[u],w);
			mn[v]=min(mn[v],w);
		}
	}
	stk[0]=1;
	for(register int i=1;i<=n;++i) { vis[i]=1; dep[i]=0; stk[1]=i; dfs(1,0); vis[i]=0;}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

没有特意剪枝，剪枝AC的代码可以参考洛谷题解。

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模拟退火

最小生成树跑不了，所以在Prim贪心的基础上随机接受非最短边。
具体见洛谷题解

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状态压缩

状压的根本在于按（被压缩的）层转移。
初步考虑$\mathfrak{f}(\mathfrak{S})$表示$\mathfrak{S}$里面的点都被选入，此时的最小代价。
转移的影响因素有两个，一个是转移边的权值，一个是转移点的层数
第二个是动态变化的。于是状态变为$\mathfrak{f}(\mathfrak{i},\mathfrak{S})$。
所以枚举$\mathfrak{i}$和$\mathfrak{S}$，然后枚举${\mathfrak{S}}^{\prime }$表示要放在$\mathfrak{i}+1$层的点集。
复杂度是$\Theta (\mathfrak{n}\cdot 4^{\mathfrak{n}})$。实际上里面的剪枝剪掉了很多重复的状态，仔细考虑一下？

实际上因为${\mathfrak{S}}^{\prime }$是$\mathfrak{S}$补集的子集也就是全集的子集的子集，
枚举$\mathfrak{S}$的一层复杂度可以无视掉，复杂度实际上就是枚举全集的子集的子集的复杂度。

考虑一个元素数量为$\mathfrak{n}$的集合，它的元素个数为$\mathfrak{x}$的子集数量为${\mathfrak{C}}_{\mathfrak{n}}^{\mathfrak{x}}$，
且元素个数为$\mathfrak{x}$的集合的所有子集数量为$2^{\mathfrak{x}}$。
综上所述，元素个数为$\mathfrak{n}$的集合的子集的子集数量为$\sum _{\mathfrak{x}=1}^{\mathfrak{n}}{\mathfrak{C}}_{\mathfrak{n}}^{\mathfrak{x}}{2}^{\mathfrak{x}}$。
这个形式应该挺熟悉的，就是二项式定理那个$\sum _{\mathfrak{r}=1}^{\mathfrak{n}}{\mathfrak{C}}_{\mathfrak{n}}^{\mathfrak{r}}{\mathfrak{a}}^{\mathfrak{n}-\mathfrak{r}}{\mathfrak{b}}^{\mathfrak{r}}$取$\mathfrak{a}=2,\mathfrak{b}=1$。
所以数量就是$(2+1{)}^{\mathfrak{n}}=3^n$

综上所述复杂度为$\Theta (\mathfrak{n}\cdot 3^{\mathfrak{n}})$。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,Ans=0x3f3f3f3f;
int F[15][5000]={};
int dis[15][15]={};
int cost[15][5000]={};
int to[5000][5000]={};
void out(int x)
{
	while(x)
	{
		if(x&1)putchar('1');
		else putchar('0');
		x>>=1;
	}cout<<" ";
}
int main()
{
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(cost,0x3f,sizeof(cost));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int u,v,w,i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		if(w<dis[u][v])dis[u][v]=dis[v][u]=w;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=0;j<(1<<n);++j)
		{
			if(j&(1<<i-1))continue;
			for(int k=1;k<=n;++k)
			{
				if(j&(1<<k-1))cost[i][j]=min(cost[i][j],dis[i][k]);
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<(1<<n);++i)
	{
		for(int j=0;j<(1<<n);++j)
		{
			if(i&j)continue;
			for(int k=1;k<=n;++k)
			{
				if(i&(1<<k-1))to[i][j]=min(to[i][j]+cost[k][j],0x3f3f3f3f);
			}
		}
	}
	memset(F,0x3f,sizeof(F));
	for(int i=1;i<=n;++i)F[1][1<<i-1]=0;
	for(register int f=1;f<n;++f)
	{
		for(register int j=0;j<(1<<n);++j)
		{
			if(F[f][j]==0x3f3f3f3f)continue;
			for(register int k=0;k<(1<<n);++k)
			{
				if(j&k)continue;
				if(to[k][j]==0x3f3f3f3f)continue;
				F[f+1][j|k]=min(F[f+1][j|k],F[f][j]+f*to[k][j]);
			}
		}
	}
	for(register int i=1;i<=n;++i)Ans=min(Ans,F[i][(1<<n)-1]);
	if(Ans==0x3f3f3f3f)printf("-1");
	else printf("%d",Ans);
	return 0;
}

其他做法：
${\mathfrak{n}}^3{3}^{\mathfrak{n}}$、$2^{\mathfrak{n}}\mathfrak{n}\mathfrak{m}$、$3^{\mathfrak{n}}\mathfrak{n}$