[Luogu4718] 【模板】Pollard-Rho算法 [Pollrd-ρ][Miller-Rabbin]

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https://www.luogu.org/problemnew/show/P4718

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Miller-Rabbin
用于快速检测一个大数 $p$ 是否为素数。

$0<a<p$
大家都知道费马小定理 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 当 $p$ 是素数
就有人猜想，只要存在 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 那么 $p$ 就是素数……当然这是错误的
那有人猜想，只要任意 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 那么 $p$ 就是素数……但是这也是错误的
但是起码反例变少了？

二次探测：$x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ （ $p$ 是素数， $0\le x<p$ ） 的解有且只有 $x_1=1,x_2=p-1$
利用二次探测定理，如果存在 $x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 且 $x$ ≠ $\pm 1$ 那么 $p$ 不是素数

然后每次随机一个 $a$ ，先费马 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
然后再根据 $a^{\frac{p-1}{2^k}}$ 和 $a^{\frac{p-1}{2^{k-1}}}$ 二次探测。
比较常见的写法是选取前 ⑨ 个素数（2 ~ 23）作为 $a$ 来探测。（还可以（比较）快速判掉小的情况

具体步骤：随机 $a$ ，逐个除去 $p-1$ 的 $2$ ，判断相邻两个是否满足二次探测

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Pollard-ρ
分解大合数 $N$ 。

生日悖论的思想核心在于组合
选取 $x_1\cdots x_n$ ；如果 $(|x_i-x_j|,N)\in (1,N)$ 就找到了一个 $N$ 的因数 $|x_i-x_j|$ 。
令 $x_i$ 完全由 $x_{i-1}$ 决定那么显然一定会循环。根据生日悖论循环节期望 $O(\sqrt{p})$
我们取 $j=2i$ ，枚举 $i$ ，假设现在 $N$ 没被筛出来的最小质因数 $p$ 。
（之所以考虑最小的那个，是因为……模它循环节最小啊，先搞出它的概率大）
并且 $y_u=x_u\%p$ 循环得一定（大概？）比 $x_u$ 早，于是就有 $x_i=k_{1}p+y_1,x_{2i}=k_{2}p+y_2$ 。
这个时候求 $(|x_i-x_j|,N)$ 就可以得到 $p$ 了。
因为 $y$ 循环节期望 $\sqrt{p}$ 并且 $y$ 期望大约 $\le \sqrt{N}$ 所以期望是 $O(N^{1/4})$ 的

在 Pollard-ρ 里面，我们选取 $x_1=2$ ，然后 $x_i\equiv x_{i-1}^2+\alpha$ ，这样的话咱没法判断出 $2$ 所以得特判
（没法判断出 $2$ 的证明：注意到模 $4$ 意义下只会产生 $\alpha +1$ 或者 $\alpha$ ）

一个可以优化的点在于注意到我们继续枚举 $i$ 当且仅当 $(|x_i-x_j|,N)=1$
一般采用批量 gcd 来加速，一般似乎是取 $\sqrt[10]{N}$ 作为一次批量求 gcd 的步长
可以有效降低复杂度（的确是的。

具体步骤：代码清楚可爱

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#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define getchar() (frS==frT&&(frT=(frS=frBB)+fread(frBB,1,1<<12,stdin),frS==frT)?EOF:*frS++)
char frBB[1<<12], *frS=frBB, *frT=frBB;
template<typename T>
inline void read(T& x)
{
    x=0;char ch=getchar();bool w=0;
    while(!isdigit(ch))w|=(ch=='-'),ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
    w?(x=-x):0;
}
inline long long gcd(long long a, long long b)
{
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}
inline void exgcd(long long a, long long b, long long& d, long long& x, long long& y)
{
    if (!b) { d = a; x = 1; y = 0; return;}
    exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x * (a / b);
}
inline long long ReMul(long long a, const long long b, const long long& p)
{
    static long long t;
    t = (long double) a * b / p;
    return ((a * b - t * p) % p + p) % p;
}
inline long long qpowm(long long a, long long b, const long long& p)
{
    if (b <= 0) return 1;
    long long ret = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ret = ReMul(ret, a, p);
        a = ReMul(a, a, p);
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
long long Prime[9] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23};
long long PowList[80];
inline bool Miller(const long long& x)
{
    long long tem;
    for (register int i = 0; i < 9; ++i)
    {
        if (Prime[i] == x) return true; // == 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
        if (Prime[i] > x) return false; // != 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
        tem = x - 1;
        PowList[0] = 0;
        while (tem % 2 == 0) ++PowList[0], tem /= 2;
        PowList[++PowList[0]] = qpowm(Prime[i], tem, x);
        for (register int j = PowList[0] - 1; j >= 1; --j)
        {
            PowList[j] = ReMul(PowList[j+1], PowList[j+1], x);
        }
        for (register int j = 1; j <= PowList[0]; ++j)
        {
            if (PowList[j] == x - 1) break;
            if (PowList[j] != 1) return false;
        }
    }
    return true;
}
#define SeMul(a, b) a = ReMul(a, a, b)
inline long long IdAbs(const long long& x)
{
    return (x<0)?(-x):x;
}
inline long long Pollard_Find(const long long& N, const int& Step, const int& Alpha)
{
    if (!(N&1)) return 2;
    register long long LastX, LastY, x = 2, y = 2, Prod;
    while (true)
    {
        LastX = x, LastY = y, Prod = 1;
        for (register int i = 1; i <= Step; ++i)
        {
            SeMul(x, N), x += Alpha; (x>=N)?(x-=N):0;
            SeMul(y, N), y += Alpha; (y>=N)?(y-=N):0;
            SeMul(y, N), y += Alpha; (y>=N)?(y-=N):0;
            Prod = ReMul(Prod, IdAbs(x - y), N);
        }
        Prod = gcd(N, Prod);
        if (Prod == 1) continue;
        if (Prod != N) return Prod; // Prod(Before GCD) == 0
        x = LastX, y = LastY;
        for (register int i = 1; i <= Step; ++i)
        {
            SeMul(x, N), x += Alpha; (x>=N)?(x-=N):0;
            SeMul(y, N), y += Alpha; (y>=N)?(y-=N):0;
            SeMul(y, N), y += Alpha; (y>=N)?(y-=N):0;
            Prod = gcd(N, IdAbs(x - y));
            if (Prod == 1) continue;
            if (Prod == N) return 0;
            return Prod;
        }
        
        //WHY
        exit(1);
    }
}
inline long long Pollard_Init(const long long& N)
{
    if (Miller(N)) return N;
    int Step = pow(N, 0.1), Alpha = 1; long long P = 0;
    while (!P) P = Pollard_Find(N, Step, Alpha), ++Alpha;
    return max(Pollard_Init(P), Pollard_Init(N/P));
}
int main()
{
    int T;
    long long n, p;
    read(T);
    while(T--)
    {
        read(n);
        p = Pollard_Init(n);
        if (p == n) puts("Prime");
        else printf("%lld\n", p);
    }
    return 0;
}