LightOJ 1336 - Sigma Function(算术基本定理)

Sigma Function

题解：首先，分析题目公式$$\sigma (n)=\frac{p_1^{e_1+1}-1}{p_2-1}\cdot \frac{p_2^{e_2+1}-1}{p_2-1}\cdot ......\cdot \frac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1}\text{\hspace{1em}(1)}$$
我们发现可以先求为奇数的个数，再用$n$减去即可。
由等比数列的知识可知：
$$\frac{p^{e+1}-1}{p-1}=1+p^1+p^2+......+p^e\text{\hspace{1em}(2)}$$
其次我们可以知道除了$2$其它质数都是奇数，因此

1. $p$为奇数时，$p^e$一定为奇数，如果要使$(2)$为奇数，那么$e$必为偶数。
2. $p$为偶数，即$2^e$，此时$(2)$必为奇数。

再由算术基本定理$$n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot p_3^{e_3}......p_k^{e_k}$$
因此我们可以知道如果是情况一的话，$e_i$为偶数，$n$此时必定为完全平方数$X$；如果是情况二，此时$n=2^e\cdot X$，如果$e$为偶数，那么$n$就还是完全平方数，否则$n=2\cdot X$。

最后显然我们可以发现$\sigma (X)$为奇数。

因此我们只需减去$n$以内为$X$和$2\cdot X$的情况即可。

代码

#include

using namespace std;
typedef long long LL;

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.in","r",stdin);
#endif
	int T, t = 1;
	cin >> T;
	while(T--) {
		LL n;
		cin >> n;
		cout << "Case " << t++ << ": " << n - (LL)sqrt(n) - (LL)sqrt(n / 2.0) << endl;
	}
    return 0;
}