矩阵AB和BA的特征值关系

\quad 本文考察这样的两个矩阵：$A\in R^{m\times n}，B\in R^{n\times m}$.于是$AB\in R^{m\times m}，BA\in R^{n\times n}$.它们都是方阵但阶次不同.我们将证明：
\quad AB和BA具有相同的非零特征值.
\quad 证明：
\quad 考察这样两个矩阵：$\left[\begin{array}{cc}AB& O\\ B& O\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{cc}O& O\\ B& BA\end{array}\right]$,有：
$$\left[\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ O& I_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}AB& O\\ B& O\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_m& A\\ O& I_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}O& O\\ B& BA\end{array}\right]$$
又由$$\left[\begin{array}{cc}{I}_m& -A\\ O& I_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_m& A\\ O& I_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I}_m& O\\ O& I_n\end{array}\right]$$可知，$\left[\begin{array}{cc}AB& O\\ B& O\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{cc}O& O\\ B& BA\end{array}\right]$相似，它们具有相同的特征多项式.也即是：$$|\lambda I_m-AB|{\lambda }^n={\lambda }^m|\lambda I_n-BA|$$假设AB有某一非零特征值${\lambda }^{\ast }$,那么$|{\lambda }^{\ast }{I}_m-AB|=0$,于是由上面得到的式子：$({\lambda }^{\ast }{)}^m|{\lambda }^{\ast }{I}_n-BA|=0$,而${\lambda }^{\ast }$非零因而$|{\lambda }^{\ast }{I}_n-BA|=0$,也即是：${\lambda }^{\ast }$也是BA的特征值；同理，BA的非零特征值也都是AB的特征值.
\quad 证毕.