《信号与系统学习笔记》—离散时间博里叶变换（一）

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、非周期信号的表示：离散时间博里叶变换

一）、离散时间博里叶变换的导出

1、离散时间博里叶变换对

1）、X(ejw)称为离散时间博里叶变换，这一对式子就是离散时间博里叶变换对。

2）、上式称为综合公式，下式称为分析公式。

2、离散时间博里叶变换和连续时间情况相比具有许多相似之处。两者的主要差别在于离散时间变换X(ejw)的周期性和综合公式中的有限积分区间。

二）、关于离散时间博里叶变换的收敛问题

1、在信号为无现场的情况下，必须考虑下式

中无穷项求和的收敛问题。如果x[n]是绝对可和的，即

或者，如果这个序列的能量是有限的，即

那么就一定收敛。

2、下式

的积分是一个有限的积分区间内进行的，因此不存在收敛问题。

二、周期洗你号的博里叶变换

1、考虑如下信号

x[n]的博里叶变换正式如下冲激串

2、考虑一个周期序列x[n]，周期为N，其博里叶级数为

这时，博里叶变换就是

这样，一个周期信号的博里叶变换就能直接从他的博里叶系数得到。

三、由线性常系数差分方式表征的系统

1、对于一个香型时不变系统而言，其输出y[n]和输入x[n]之间的线性常系数差分方程一般具有如下实行：

，此式的差分方程一般称为N阶差分方程。有两个方法来确定H(ejw)。其中第一种是利用复指数是线性时不变系统特征函数这一事实来求。第二种是利用离散时间博里叶变换的卷积，线性和时移性质来求。

2、设X(ejw)、Y(ejw)和H(ejw)分别是输出x[n]、输出y[n]和单位冲脉冲响应h[n]的博里叶变换，那么离散时间博里叶变换的卷积性质就意味着有