数据库：关系代数

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有了数据库，还要通过查询来获得数据。SQL是常用的查询语言，但我想用更抽象的查询语言来表达，从思路上去理解而忽略实现细节。下面将介绍关系代数。

数据库实例

在介绍查询语言之前，先定义一个数据库实例：
Sailors(sid: integer, sname: string, rating: interger, age: real)
Boats(bid: integer, bname: string, color: string)
Reserves(sid: integer, bid: integer, day: date)

关系代数

选择与投影

选择和投影均可对单个关系进行操作。选择行的操作符为 $\sigma$，投影列的操作符为 $\pi$，两种操作均可以添加检索条件。

等级大于8的水手： $\sigma {}_{rating>8}(Sailors)$
所有水手名字和等级：$\pi {}_{sname,rating}(Sailors)$

集合操作

每个关系都可以看作实例的集合，因此可以对两个关系进行集合操作。集合操作包括交，并，差以及笛卡尔积，操作符分别为 $\bigcap$，$\bigcup$，$-$，$\times$。两个关系进行集合操作的结果仍为关系。

连接

连接操作包括条件连接、相等连接和自然连接，操作符为 $\bowtie$。连接本质上是求笛卡尔积，条件连接是只对符合条件的元组进行连接，相等连接是条件为相等表达式的连接，自然连接是只对存在同名字段的元组进行连接。

所有水手预订的船只：$Sailors\bowtie Reserves\bowtie Boats$

除

除并不是基本操作，虽然可以用操作符 $\setminus$ 表示，但实际上除是由其它操作定义的。考虑两个关系实例 $A$ 和 $B$，$A$ 有且仅有字段 $x$ 和 $y$，而 $B$ 只有一个字段 $y$。$A\setminus B$ 定义为满足如下条件的 $x$ 的集合，对于 $B$ 中每个元组 $y$，在 $A$ 中都有一个元组 $<x,y>$ 与之对应。

$A\setminus B$ 定义为：$\pi {}_x(A)-\pi {}_x((\pi {}_x(A)\times B)-A)$

参考资料

Raghu Ramakrishnan, Johannes Gehrke. Database Management Systems (Third Edition)[M]. 北京:清华大学出版社, 2003.