数论总结

数论

1.1 Lucas定理 （扩展Lucas定理）_{【组合数取模】}

Lucas定理：

要计算$C_n^m\%p$的值
$$n=n_k{p}^k+n_{k-1}{p}^{k-1}+...+n_{1}p+n_0$$

$$m=m_k{p}^k+m_{k-1}{p}^{k-1}+...+m_{1}p+m_0$$

$$C_n^m=\prod _{i=0}^k{C}_{n_i}^{m_i}(modp)$$

即将n.m分解为p进制，然后求每一位上的组合数，再乘起来，就是答案

• 1、当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求。
• $C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)$
• 2、n和m较大，但是p为素数的时候，递归求解：
• $Lucas（n,m)\%p=Lucas(n/p,m/p)\ast C(n\%p,m\%p)\%p$
• 递归出口：m=0时返回1
• p较小时，可以预处理阶乘

LL qpow(LL a, LL b, LL p)//快速幂取模
{
    LL ans = 1;
    a %= p;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = ans * a % p;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return ans;
}

LL inv(LL a, LL p)//求逆元，要求p为素数，且a和m互质
{
    return qpow(a, p - 2, p);
}

LL C(LL n, LL m)//求组合数
{
    if(m > n) 
        return 0;
    LL ans = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        LL a = (n + i - m) % p;
        LL b = i % p;
        ans = ans * (a * inv(b, p) % p) % p;
    }
    return ans;
}

LL Lucas(LL n, LL m)//求组合数取模
{
    if(m == 0) return 1;
    return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;
}

//打表预处理组合数，可以加快阶乘计算
void getfac(int p)//阶乘表
{
    fac[0] = fac[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= p; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
}

LL C(LL n, LL m, LL p) //组合数
{
    if(m > n)
        return 0;
    else
        return fac[n] * inv(fac[m] * fac[n - m], p) % p;
}

• n，m较大且p不为素数的时候，扩展Lucas定理

• 令$p=p_1^{k_1}\ast p_2^{k_2}\ast ...\ast p_q^{k_q}$（$p_i$是质数）

• 列出同余方程组$$\{\begin{array}{l}ans\equiv c_{1}mod{p}_1^{k_1}\\ ans\equiv c_{2}mod{p}_2^{k_2}\\ ......\\ ans\equiv c_{n}mod{p}_n^{k_n}\end{array}$$

• 其中$c_i...c_q$是对于每一个$C_n^m\%p_i^{k_i}$求出的答案

• 使用中国剩余定理即可求出ans。

• 其中$C_n^m\%p_i^{k_i}$的求法关键在于$n!\%p_i^{k_i}$的求法，以下给出解法：

  1. $n!\%p_i^{k_i}$是三部分的乘积
  2. 第一部分是$p_i^{\lfloor \frac{n}{p_i}\rfloor }$
  3. 第二部分是$\lfloor \frac{n}{p_i}\rfloor !$
  4. 第三部分是上面的数之外的其他数(不超过$p_i^{k_i}$)的乘积，可暴力

• $m!\%p_i^{k_i}$和$(n-m)!\%p_i^{k_i}$的结果可能与$p_i^{k_i}$不互质，无法求逆元，所以要先去除其中的质因子$p_i$，求出逆元后，再乘回去。

• 计算$n!$中的质因子p的个数x：$x=\lfloor \frac{n}{p}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +...$

• 递推式为：$f(n)=f(\lfloor \frac{n}{p}\rfloor )+\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$

LL qpow(LL a, LL n, LL m)//快速幂
{
    LL ans = 1;
    a %= m;
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            ans = ans * a % m;
        n >>= 1;
        a = a * a % m;
    }
    return ans;
}

//求解ax+by=gcd(a, b)
//返回值为gcd(a, b)
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)//扩展欧几里得
{
    LL d = a;
    if(b)
    {
        d = exgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else x = 1, y = 0;
    return d;
}

//求解a关于模上m的逆元
//返回-1表示逆元不存在
LL inv(LL a, LL m)
{
    LL x, y;
    LL d = exgcd(a, m, x, y);
    return d == 1 ? (m + x % m) % m : -1;
}

//计算n! mod p^k的部分值,pk为p_i的k_i次方,算出的答案不包括pi的幂的那一部分
LL Mul(LL n, LL pi, LL pk)
{
    if(!n) return 1;
    LL ans = 1;
    if(n / pk)
    {
        for(LL i = 2; i <= pk; i++) //求出循环节乘积
            if(i % pi) ans = ans * i % pk;
        ans = qpow(ans, n / pk, pk); //循环节次数为n / pk
    }
    for(LL i = 2; i <= n % pk; i++)
        if(i % pi) ans = ans * i % pk;
    return ans * Mul(n / pi, pi, pk) % pk;//递归求解
}

LL C(LL n, LL m, LL p, LL pi, LL pk)//计算组合数C(n, m) mod p^k的值 p^k为p_i的k-i次方
{
    if(m > n) return 0;
    LL a = Mul(n, pi, pk), b = Mul(m, pi, pk), c = Mul(n - m, pi, pk);
    LL k = 0, ans;//k为pi的幂值
    for(LL i = n; i; i /= pi) k += i / pi;
    for(LL i = m; i; i /= pi) k -= i / pi;
    for(LL i = n - m; i; i /= pi) k -= i / pi;
    ans = a * inv(b, pk) % pk * inv(c, pk) % pk * qpow(pi, k, pk) % pk;//ans就是n! mod pk的值
    ans = ans * (p / pk) % p * inv(p / pk, pk) % p;//此时用剩余定理合并解
    return ans;
}

LL Lucas(LL n, LL m, LL p)//求组合数C(n, m) mod p的值，p为合数
{
    LL x = p;
    LL ans = 0;
    for(LL i = 2; i <= p; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            LL pk = 1;
            while(x % i == 0)pk *= i, x /= i;//将p分解成质数幂的乘积
            ans = (ans + C(n, m, p, i, pk)) % p;//剩余定理求解
        }
    }
    return ans;
}

1.2 扩展欧几里得

求$a\ast x+b\ast y=gcd(a,b)$的解

//求解ax+by=gcd(a, b)
//返回值为gcd(a, b)
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{
    LL d = a;
    if(b)
    {
        d = exgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else x = 1, y = 0;
    return d;
}

1.3 威尔逊定理

p可以整除（p-1)!+1是p为质数的充要条件

1.4 欧拉定理(扩展欧拉定理)_{【高次幂：对指数取模（模无限制）】}

• 欧拉定理：

​ 若a,m为整数，且a,m互质，则$a^{\varphi (m)}\equiv 1(modm)$

• 扩展欧拉定理：

$$a^c\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^{cmod\varphi (m)},& gcd(a,m)=1\\ a^c,& gcd(a,m)̸=1,c<\varphi (m)\\ a^{(cmod\varphi (m))+\varphi (m)},& gcd(a,m)̸=1,c\ge \varphi (m)\end{array}$$

• 因此求高次幂，无论a,n是否互质，都可以使用$a^c\equiv a^{(cmod\varphi (m))+\varphi (m)}modm$

1.5 费马小定理_{【高次幂：对指数取模（模为质数）】}

​ m为质数

• a不为m的倍数时，$a^{(m-1)}\equiv 1(modm)$
• a为m的倍数时，$a^{(m-1)}\equiv 0(modm)$
• 因此求高次幂，可以用该定理对指数取模

1.6 中国剩余定理

求线性同余方程组

$$\{\begin{array}{l}X\equiv d_{1}mod{p}_1\\ X\equiv d_{2}mod{p}_2\\ ......\\ X\equiv d_{n}mod{p}_n\end{array}$$

求X的值

const int N = 15;
int n;
LL yu[N], mo[N];

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    LL r = exgcd(b, a % b, x, y);
    LL tmp = y;
    y = x - (a / b) * y;
    x = tmp;
    return r;
}

LL CRT(LL *yu, LL *mo, int num)
{
    LL M = 1, ans = 0, x, y;
    for(int i = 0; i < num; i++)
        M *= mo[i];
    for(int i = 0; i < num; i++)
    {
        LL w = M / mo[i];
        exgcd(w, mo[i], x, y);
        ans = (ans + yu[i] * x * w) % M;
    }
    return (ans + M) % M;
}