不定型极限的计算问题

要点：

• 基本不定型： 00、1∞
• 00 型常用的计算方法：等价无穷小替换法、洛必达法则、麦克劳林公式
• 出现 u(x)h(x) ,化为 eh(x)⋅lnu(x)
• 出现 ln(1+Δ) ,使用 ln(1+Δ)∼Δ
• 出现 Δ−1 ,使用 eφ−1∼φ、(1+φ)a−1∼aφ
• limx→0ax−1x∼lna
• 1∞ 型常用计算方法：凑 (1+Δ)1Δ 再恒等变形
• 当 x→∞ 时，极限式中含有 sinx、cosx 不能使用洛必达法则
• 00 型，无穷小的相乘相加还是无穷小，无穷小相减不能使用等价无穷小替换
• ∞∞ 型，先使用洛必达法则，然后再使用变量替换转化成 00 型
• 若 x→∞ 的极限中含有 ax,arctanx 一定要分别求出 x→−∞,x→+∞ 的极限，判断极限是否存在先
• ∞−∞ 型，转化成 00,∞∞ ,具体方法：通分、根式有理化、变量替换
• 0⋅∞ 型，通过下放或者上放转化成 00,∞∞
• 00,∞0 型，利用对数恒等式 N=elnN 转化成 0⋅∞ 型

题目：

1.limx→0tanx−xx2ln(1+2x);

分析： ln(1+2x)∼2x , 洛必达法则
原式 = 12limx→0tanx−xx3=16limx→0sec2x−1x2=16limx→0tan2xx2=16

2.limx→01+tanx√−1+sinx√x3;

分析：分子有开根号，要去掉，同时乘以 1+tanx−−−−−−−√+1+sinx−−−−−−−√ 试试;分母如果是 x2 ，那么分子要想办法变成 1−cosx
原式 = limx→0tanx−sinxx3(1+tanx√+1+sinx√)=12limx→0tanx−sinxx3=12limx→0tanxx⋅1−cosxx2=14

3.limx→0ex2−cosxx2;

分析：看到 ex,cosx 在一起，可以通过添加一个1来利用这两个等价无穷小： ex−1∼x,1−cosx∼x22
原式 = limx→0ex2−1x2+limx→01−cosxx2=32

4.limx→0ex2−esin2xx4;

分析：这个题就要提取 esin2x 来利用 ex−1∼x .无穷小相加是我们愿意看到的，而无穷小相减不能直接计算，而是要通过洛必达法则来变形。
原式 = limx→0esin2xex2−sin2x−1x4=limx→0ex2−sin2x−1x4=limx→0(x+sinx)(x−sinx)x4=limx→0x+sinxx⋅x−sinxx3=2limx→0x−sinxx3=23limx→01−cosxx2=13

5.limx→0arctanx−arcsinxx3;

分析：添加一个x，然后分开这个式子（有点神来之笔），利用 (1+x)a−1∼ax ;利用洛必达法则，如果发现求导不好求，可以用式子代替原来的x; 分母如果是 x3 ,直觉告诉我们应该可以用洛必达加等价无穷小解决。
原式 = limx→0arctanx−xx3+limx→0x−arcsinxx3
limx→0arctanx−xx3=13limx→011+x2−1x2=13limx→0(1+x2)−1−1x2=−13
limx→0x−arcsinxx3=x=sintlimt→0sint−tsin3t=limt→0sint−tt3=13limt→0cost−1x2=−16
原式 = −13−16=−12

6.limx→01x3[(2+cosx3)x−1];

分析：看到 u(x)g(x) 要利用这个变形： eg(x)lnu(x) ;看到 ln(A) 做分子分母的时候想办法变成 ln(1+B) 这种形式
原式 = limx→0exln2+cosx3−1x3=limx→0ln2+cosx3x2=limx→0ln(1+cosx−13)x2=13limx→0cosx−1x2=−16

7.limx→01−cosx⋅cosx√x2;

分析：添加一个 cosx 使得其中一部分利用等价无穷小求出来，同时，把另一部分提取一个 cosx , limx→0cosx=1 .
原式 = limx→01−cosxx2+limx→0cosx1−cosx√x2=12+limx→01−cosxx2⋅(1+cosx√)=12+12limx→01−cosxx2=34

8.limx→0[sinx−sin(sinx)]sinxx4;

分析：使 sinx=x ,变形式子，即可求得。
原式 = limt→0t−sintsin4t=limt→0t−sintt3=16

9.limx→0lnsinxx(1+x)sin2x−1;

分析：利用前面说的技巧就可以做出来了。
原式 = limx→0lnsinxxesin2xln(1+x)−1=limx→0ln(1+sinx−xx)2x2=12limx→0sinx−xx3=−112

10.limx→0cosx−e−x2xx3sinx;

11.limx→∞ex−xarctanxex+x;

12.limx→−∞x+2+4x2+4x+2√x2−2x+4√;

13.limx→0+lnxln(1−x);

PS:考研期间不断更新！！！