数论-Lucas(卢卡斯定理)

Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p,p为素数的值。

对于C(n, m) mod p。这里的n,m,p(p为素数)都很大的情况。就不能再用C(n, m) = C(n - 1,m) + C(n - 1, m - 1)的公式递推了。

应用:大组合数求模


表达式C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
求C(n, m) mod 10007
/*int Lucas (ll n , ll m , int p) 
{
  return m == 0 ? 1 : 1ll*comb (n%p , m%p , p) * Lucas (n/p,m/p,p)%p ;
}*/
//comb()函数中,因为q , r < p , 所以这部分暴力完成即可。
//C++求C(n, m) mod 10007    版本二 要求p z在100000左右
ll f[N];
void init(int p) 
{       //f[n] = n!
    f[0] = 1;
    for (int i=1; i<=p; ++i) f[i] = f[i-1] * i % p;
} 
ll pow_mod(ll a, ll x, int p)
{
    ll ret = 1;
    while (x)
        {
        if (x & 1)  ret = ret * a % p;
        a = a * a % p;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
  
ll Lucas(ll n, ll k, int p)        //C (n, k) % p
{
     ll ret = 1;
     while (n && k) 
        {
        ll nn = n % p, kk = k % p;
        if (nn < kk) return 0;  //inv (f[kk]) = f[kk] ^ (p - 2) % p
        ret = ret * f[nn] * pow_mod (f[kk] * f[nn-kk] % p, p - 2, p) % p;
        n /= p, k /= p;
     }
     return ret;
}
int main(void)
{
    init (p);
    printf ("%I64d\n", Lucas (n, m, p));
    return 0;
}

也可以采用下面的方法,先把mod的阶乘存起来:

void init(int mod){                         //对mod取余后,一定小于mod,因此把mod的阶乘存起来就够用
	f[0] = 1;
	for(int i = 1 ; i <= mod ;i ++ ){
		f[i] = f[i-1] * i % mod;
	}
}

void ex_gcd(LL a,LL b,LL& d,LL& x,LL& y)
{
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else{ ex_gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}

LL inv(LL a,LL m)               //欧几里得逆元,也可以费马小定理
{
    LL d, x, y;
    ex_gcd(a, m, d, x, y);
    return d == 1 ? (x+m)%m : -1;
}

LL Lucas(LL m , LL n , LL p){
	LL  res = 1;
	while(n && m){
		LL n1 = n % p ;
		LL m1 = m % p ;
		res = res * f[n1] * inv(f[n1-m1],p) * inv(f[m1],p)%p;
		n /= p;
		m /= p;
	}
	return ( res % p + p ) % p;
}


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