时间序列分析之误差修正模型（ECM）

误差修正模型（Error Correction Model, ECM）

协整（cointegration）反映的是序列中变量之间的长期均衡关系，用网上的一个例子来描述协整就是一个醉汉牵着一只狗，他们之间的距离虽然会时远时近，但是由于绳子的存在，当达到绳子的长度时，他们的距离又会拉近，这样他们之间就存在着协整关系。通过协整建立的模型是静态模型，而误差修正模型的使用就是为了建立短期的动态模型来弥补长期静态模型的不足，通过误差修正模型，可以判断出变量在短期波动中偏离其长期均衡关系的程度。

假设序列$X_t$和$Y_t$存在这种长期的均衡关系，也就是协整关系，表现形式就是：
$$Y_t=a_0+a_1{X}_t+u_t$$由于他们之间存在着长期的均衡关系，那就是说当$Y_t$出现偏离均衡点时，这种现象只是暂时的。而这种均衡关系建立的前提就是随机项$u_t$是平稳的，这也是检验两个序列之间协整关系的一种方法，就是通过检验随机项的平稳性来判断是否存在协整关系。试想一下，如果随机项不是平稳的，也就是它具有上升或者下降的趋势，那么$Y_t$的偏离就会被长期累积下来而不能被消除。因此，随机项也称作长期均衡误差，或者非均衡误差项，它将在误差修正模型中作为自变量。

误差修正模型的建立

通过上面的分析，就知道了如果要建立误差修正模型，首先需要做的就是对序列进行协整检验，以发现它们之间的协整关系，以这种关系建立误差修正项，然后将误差修正项作为一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，也即是误差修正模型。

从上面的例子知道长期均衡 $Y_t=a_0+a_1{X}_t+u_t$，而误差修正模型的具体形式是：$$\Delta Y_t=b_0+b_1\Delta X_t+\gamma ec{m}_{t-1}+u_t$$ $\Delta X_t$ 和 $\Delta Y_t$ 分别是一阶差分后的结果，除此之外，其中$\gamma <0$，$ec{m}_{t-1}$表示误差修正项，可以表示为 $ec{m}_{t-1}=Y_{t-1}-a_0-a_1{X}_{t-1}$，这也是为什么上面提到的随机项将在误差修正模型中作为自变量的解释。具体的求法和步骤可以参考 百度文库。

根据此可以判断ecm的作用：如果 t - 1时刻 $Y_t$ 大于它的长期均衡$a_0+a_1$，ecm为正，则 $\gamma ecm$ 为负，则使得 $\Delta Y_t$ 减小；如果 t - 1时刻 $Y_t$ 小于它的长期均衡$a_0+a_1$，ecm为负，则 $\gamma ecm$ 为正，则使得 $\Delta Y_t$ 增大。

其中，ecm的系数 $\gamma$ 反映了短期波动偏离长期均衡时的调整力度。通常，误差修正模型中各个系数可以通过OLS求得。另外，根据Madhavan and Simit (1993)定义的均值回复半周期式：$T/2=|ln2/ln(1+\gamma )|$，可以通过ecm的系数 $\gamma$来求得非均衡偏离向均值回复的半周期期望，得出的值是 t 个时间间隔，具体的时间还要乘以每个 t 间隔代表的时间。