[最优化]凸集的定义与常见凸集

凸集的定义与常见凸集

通常认为，如果某个实际问题可以表述为凸优化问题，那么事实上已经解决了这个问题，然而凸优化问题的识别还比较困难，本文将先介绍凸集的定义与常见凸集。

仿射集

如果集合 C⊆Rn C ⊆ R n 是仿射的，等价于：对于任意的 x1,x2∈C x 1 , x 2 ∈ C 及 θ∈R θ ∈ R 有 θx1+(1−θ)x2∈C θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C ，即 C C 包含了 C C 中任意两点的系数之和为1的线性组合。

将其扩展到多个点的情况：如果 θ1+θ2+...+θk=1 θ 1 + θ 2 + . . . + θ k = 1 ，我们则称具有 θ1x1+θ2x2+...+θkxk θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + . . . + θ k x k 形式的点为 x1,x2,...,xk x 1 , x 2 , . . . , x k 的仿射组合。例如线性方程组的解集 C={x|Ax=b} C = { x | A x = b } 是一个仿射集。

称由集合 C⊆Rn C ⊆ R n 中点的所有仿射组合所组成的集合为 C C 的仿射包：

aff C={θ1x1+...+θkxk|x1,...,xk∈C,θ1+θ2+...+θk=1} a f f   C = { θ 1 x 1 + . . . + θ k x k | x 1 , . . . , x k ∈ C , θ 1 + θ 2 + . . . + θ k = 1 }

仿射包是包含 C C 的最小的仿射集合，即如果集合 S S 满足 C⊆S C ⊆ S ，则 aff C⊆S a f f   C ⊆ S ，同时将集合 C C 的仿射维数定义为其仿射包的维数。例如 R2 R 2 上的单位圆环的维数为1，但其仿射维数为2，因为其仿射包为全空间 R2 R 2

凸集

如果集合 C C 为凸集，那么对于任意的 x1,x2∈C x 1 , x 2 ∈ C 与 0≤θ≤1 0 ≤ θ ≤ 1 都有 θx1+(1−θ)x2∈C θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C ，与仿射集的区别在于仿射集并没有 θ≥0 θ ≥ 0 的要求，例如一条线段是凸集，而一条直线是仿射集。

扩展到多维的情况，如果有 θ1+θ2+...+θk=1,θi≥0 θ 1 + θ 2 + . . . + θ k = 1 , θ i ≥ 0 ，则称具有 θ1x1+θ2x2+...+θkxk θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + . . . + θ k x k 形式的点为 x1,x2,...,xk x 1 , x 2 , . . . , x k 的凸组合。

称由集合 C⊆Rn C ⊆ R n 中点的所有凸组合所组成的集合为 C C 的凸包：

conv C={θ1x1+...+θkxk|x1,...,xk∈C,θ1+...+θk=1,θi≥0 c o n v   C = { θ 1 x 1 + . . . + θ k x k | x 1 , . . . , x k ∈ C , θ 1 + . . . + θ k = 1 , θ i ≥ 0

与仿射包同样，凸包也是包含 C C 的最小的凸集，在一般情况下，设 C∈Rn C ∈ R n 是凸集， x x 是随机变量，并且 x∈C x ∈ C 的概率为1，那么 E x∈C E   x ∈ C

一些重要的凸集

识别出凸集对于识别凸优化问题较为重要，这里将介绍一些比较重要的凸集。

任意的仿射集和子空间都是凸集，一些比较简单的例如空集 ∅ ∅ ，单点集 {x0 { x 0 ，全空间 Rn R n ，直线/射线/线段都是凸的。

还有一些比较重要的凸集如下：

1. 超平面 {x|aTx=b { x | a T x = b 和半空间 {x|aTx≤b { x | a T x ≤ b
2. Euclid球 B(xc,r)={x| ||x−xc||2≤r B ( x c , r ) = { x |   | | x − x c | | 2 ≤ r
3. 椭球 ξ={x|(x−xc)TP−1(x−xc)≤1 ξ = { x | ( x − x c ) T P − 1 ( x − x c ) ≤ 1
4. 范数球 {x| ||x−xc||≤r { x |   | | x − x c | | ≤ r ，其中 ||⋅|| | | ⋅ | | 是 Rn R n 中的范数
5. 范数锥 C={(x,t)| ||x||≤t⊆Rn+1 C = { ( x , t ) |   | | x | | ≤ t ⊆ R n + 1
6. 多面体 P={x|aTj≤bj,j=1,...,m,cTjx=dj,j=1,...,p P = { x | a j T ≤ b j , j = 1 , . . . , m , c j T x = d j , j = 1 , . . . , p ，即为有限个半空间和超平面的交集，单纯形也为凸集，是一种特殊的多面体
7. 半正定锥 Sn+={X∈Rn∗n|X=XT,X⪰0 S + n = { X ∈ R n ∗ n | X = X T , X ⪰ 0 ，即为半正定对称矩阵的集合