实变函数笔记-外测度，可测集，可测函数

【参考资料】
【1】《实变函数与泛函分析基础》
【2】《陶泽轩实分析》
【3】《实变函数与泛函分析》

外测度

定义: 设E为$R^n$中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间$\bigcup _{i=1}^{\infty }{I}_i\subset E$,作出它的体积总和$u=\sum _{i=1}^{\infty }|I_i|$，所有一切u组成一个下方有界的数集，它的下确界称为E的勒贝格外侧度，简称L外侧度，记作$m^{\ast }E$,即:

$m^{\ast }E=\underset{E\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }{I}_i}{\inf }\sum _{i=1}^{\infty }|I_i|$

外侧度具备三条基本性质:

(1) $m^{\ast }E\ge 0$，当E是空集时，$m^{\ast }E=0$
(2) 设$A\subset B$，则$m^{\ast }A\le m^{\ast }B$ (单调性)
(3) $m^{\ast }(\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i)\le \sum _{i=1}^{\infty }{m}^{\ast }{A}_i$(次可数可加性)

给出(3)的证明如下:

1. 对每一个$A_i$构造其对应的外侧度，即存在对应的开区间$I_{n,1},I_{n,2},\dots ,I_{n,m}$使得$A_n\subset \bigcup _{m=1}^{\infty }{I}_{n,m}$，同时满足如下要求: $\sum _{m=1}^{\infty }|I_{n,m}|\le m^{\ast }{A}_n+\frac{ϵ}{2^n}$
2. 对所有的A取交集，我们得到
   $\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n\subset \bigcup _{n,m=1}^{\infty }{I}_{n,m}$
   由外侧度的单调性可知
   $m^{\ast }(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n)\le \sum _{n,m=1}^{\infty }|I_{n,m}|$
3. 分析I组成开集的外测度
   $\sum _{n,m=1}^{\infty }|I_{n,m}|=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }|I_{n,m}|\le \sum _{n=1}^{\infty }(m^{\ast }{A}_n+\frac{ϵ}{2^n})$

$=\sum _{n=1}^{\infty }{m}^{\ast }{A}_n+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{ϵ}{2^n}$ 由于$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}$收敛于1
$=\sum _{n=1}^{\infty }{m}^{\ast }{A}_n+ϵ$

可测集

由于外侧度不具备可数可加性，因此我们要给出一种集合，使得在这种集合里存在$m^{\ast }(\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }{m}^{\ast }{A}_i$

定义: 设$E\subset R^n$，若对任意$T\subset R^n$，有
$m^{\ast }(T)=m^{\ast }(T\cap E)+m^{\ast }(T\cap E^c)$，则称E是勒贝格可测集。可测集的全体记作m，称为$R^n$的可测集类。

于是我们重新描述可数可加性如下：

若$E_j\in M,j=1,2,....$，这里M指可测集类，则$\bigcap _{n=1}^{\infty }{E}_j\in M$，若还有$E_i\cap E_j=\varnothing i̸=j$，则有$m(\bigcup _{j=1}^{\infty }{E}_j)=\sum _{j=1}^{\infty }m(E_j)$

证明:

设集合$E_1,E_2,...,E_k,....$是一系列互不相交的可测集，由于$E_1$的可测性，对于任意点集有
$m^{\ast }(T\cap (E_1\cup E_2))=m^{\ast }(T\cap (E_1\cup E_2)\cap E_1)+m^{\ast }(T\cap (E_1\cup E_2)\cap E_1^c)$

因为$E_1\cap E_2=\varnothing$，得到
$m^{\ast }(T\cap (E_1\cup E_2))=m^{\ast }(T\cap E_1)+m^{\ast }(T\cap E_2)$

通过归纳法，不断迭代得到

$m^{\ast }(T\cap \bigcup _{j=1}^k{E}_j)=\sum _{j=1}^k{m}^{\ast }(T\cap E_j)$

令$S=\bigcup _{j=1}^{\infty }{E}_j$, $S_k=\bigcup _{j=1}^k{E}_j$，由于可测集的并还是可测集，因此$S_k\in M$，同样满足等式:

$m^{\ast }(T)=m^{\ast }(T\cap S_k)+m^{\ast }(T\cap S_k^c)$
$=\sum _{j=1}^k{m}^{\ast }(T\cap E_j)+m^{\ast }(T\cap S_k^c)$

由于$S_k\subset S$ 得到
$m^{\ast }(T)\ge \sum _{j=1}^k{m}^{\ast }(T\cap E_j)+m^{\ast }(T\cap S^c)$注意:这里是s的补集
$m^{\ast }(T)\ge \sum _{j=1}^{\infty }{m}^{\ast }(T\cap E_j)+m^{\ast }(T\cap S^c)$
$\ge m^{\ast }(T\cap S)+m^{\ast }(T\cap S^c)$

将上面式子中$T\cap S$代替T 得到$m^{\ast }(T\cap S)=\sum _{j=1}^{\infty }{m}^{\ast }(T\cap E_j)$

PS:这步证明没搞明白，怎么就从不等号变等号了？？

将T替换为$R^n$，证毕。

可测函数

定义: 一个定义在$E\subset R^2$上的实函数f(x)确定了E的一组子集，$\{x:x\in E,f(x)>a\}$，记作E[f > a]

定义: 设f(x)是定义在可测集类$E\subset R^2$上的实函数，如果对于任何有限的实数a，E[f > a]都是可测集，则称f(x)是定义在E上的可测函数。

PS:这里没搞明白两点，为什么要通过逆像来定义？为什么是大于而不是等于？